Alles erklärt sich folgender Maßen:
- Kapitalintensität definiert die Produktionsmenge
Hier steckt die Cobb-Douglas Produktionsfunktion hinter.
Y=A\cdot K^\alpha\cdot L^{1-\alpha}
\frac{Y}{L}=A\cdot {K^\alpha}\cdot L^{-\alpha}=A\cdot\left(\frac{K}{L}\right)^\alpha
Nun sehen wir, dass der Pro-Kopf-Kapitalstock den Pro-Kopf-Output definiert.
2.Produktionsmenge beeinflusst Ersparnis/ Investition
Dies folgt aus einer einfachen Modellannahme, dass es eine konstante Sparquote s gibt.
S=s\cdot Y
3.Ersparnis und Investition beeinflusst Kapitalintensität
Dies folgt aus der Überlegung wie die Dynamik des Kapitalstockes so ist. Es gilt:
K_t=K_{t-1}+s\cdot Y_{t-1}-\delta K_{t-1}
Hier sehen wir schon, dass K_t eine Funktion von s ist.
\frac{K_t}{L_{t-1}}=\frac{K_{t-1}}{L_{t-1}}+s\cdot \frac{Y_{t-1}}{L_{t-1}}-\delta \frac{K_{t-1}}{L_{t-1}}
\frac{K_t}{L_{t-1}}=\frac{K_{t-1}}{L_{t-1}}+s\cdot A_{t}\left(\frac{K_{t-1}}{L_{t-1}}\right)^\alpha-\delta \frac{K_{t-1}}{L_{t-1}}
Wie wir sehen ist dies eine dynamisches Gleichung! Im dynamischen Gleichgewicht, auch steady state genannt, ist der pro-Kopf-Kapitalstock konstant. Dies bedeutet:
\frac{K_t}{L_t}=\frac{K_{t-1}}{L_{t-1}}
In Pro-Kopf-Größen erhält man die Änderung:
\frac{K_t}{L_t}-\frac{K_{t-1}}{L_{t-1}}=0
Nun unterstelle man eine konstante Wachstumsrate für die Bevölkerung, dann gilt:
\frac{L_t-L_{t-1}}{L_{t-1}}=g_L
so folgt:
\frac{L_{t-1}}{L_t}=\frac{1}{1+g_L}
Dies führt zur Wachstumsrate des Pro-Kopf-Kapitalstockes von:
(1+g_L)\cdot\frac{K_{t}}{L_t}-\frac{K_{t-1}}{L_{t-1}}=s\cdot A_{t}\left(\frac{K_{t-1}}{L_{t-1}}\right)^\alpha-\delta \frac{K_{t-1}}{L_{t-1}}
Nun lösen wir die Klammer links auf, und bedenken, dass gilt:
\frac{K_t}{L_t}-\frac{K_{t-1}}{L_{t-1}}=0
g_L\cdot \frac{K_t}{L_t}=s\cdot A_{t}\left(\frac{K_{t}}{L_{t}}\right)^\alpha-\delta \frac{K_{t}}{L_{t}}
und nun dividieren wir auf beiden Seiten durch
\frac{K_t}{L_t}
und erhalten durch umstellen:
\frac{K_{t}}{L_{t}}=\left(\frac{s\cdot A_t}{g_L+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}
Und wenn ich mich nicht verschrieben und verrechnet habe so spät am Abend, dann sollte das richtig sein und uns zeigen, wie der funktionale Zusammenhang zwischen der Ersparnis und der Kapitalintensität ist.