Hallo
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat doch jedes Polynom in C Nullstellen. Die Exponentialreihe ist doch auch ein Polynom, müsste also dementsprechend auch irgendwo eine Nullstelle haben?
Hab ich schon wieder was verrafft?
Mfg
Rainer
Ja, irgendwo hat sie eine Nullstelle. Desto weiter man die Reihe entwickelt, dest weiter ist die Nullstelle im Unendlichen.
Gruß
Steven
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hi,
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat doch jedes Polynom in
C Nullstellen. Die Exponentialreihe ist doch auch ein Polynom,
nein.
polynome sind endliche summen.
m.
Hallo Rainer,
Erstmal vorweg:
Der Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra kenne, funktioniert über die Aussage, dass ein Polynom p(x) für |x|->oo selbst gegen + oder -oo gehen wird. Was ja der Fall ist, weil bei p(x) = a*x^n + b*x^(n-1) +++ immer der erste Summand irgendwann stärker wird als alle anderen.
Bei einem unendlich langen Polynom gibts keinen höchsten Summanden (überhaupt nur deswegen kann das auch im Unendlichen gegen 0 gehen!), und damit wird dieser Beweis hinfällig. Gibt auch noch andere Beweise, die kenne ich nicht, vielleicht funktionieren die ja für unendliche Polynome genauso? Oder, ist e^x eigendlich eine ganze Funktion? (Konnte mir immernoch keiner so wirklich genau sagen, was das nu ist, eine ganze Funktion, aber der Funamentalsatz funktioniert nur für ganze Funzen.)
Langes Laber, wenig Sinn: Es scheint, als könnte man den Fundamentalsatz nicht unbedingt direkt auf unendlich lange Polynome anwenden.
Aber trotzdem ein Versuch, das zu tun:
Es ist ja
e^x = lim{(1+x/n)^n};n->oo, die Limesdefinition der E-Funktion.
Gucksdu mal genau hin: Ist das nicht ein Faktor, wie in einem (zu einem Produkt umgewandelten) Polynom??
Allgemein: p(x) = (x-a)^n1 * (x-b)^n2 * (x-c)^n3 ***
Hier sind eben alle Faktoren gleich; exp(x) = (x/n + 1)^n, eben für unendlich großes n.
Aus dem Faktor (x/n + 1) ergibt sich die Stellnulle:
x/n + 1 = 0
x = -n
n ist unendlich, also x = -oo.
Alles wie es sein sollte, oder?
Liebe Grüße!
Giogio
Na ja, ich kenn den BEweis mittels des Satzes von Liouville, der ja besagt, dass eine ganze beschränkte Funktion konstant ist. Meine Frage hat sich schon erledigt, ich hab einfach nicht berücksichtig, dass es nur für endliche Polynome gilt.
Eine ganze Funktion ist einfach auf ganz C holomorph, und daraus ergeben sich sehr wunderbare Eigenschaften (wenn man mit denen rumrechnet). (beispielsweise liegt das Bild einer ganzen Funktion dicht in C. Gut, ich bin Physiker, hab das bisher noch nicht gebraucht, bin aber auch noch nicht soweit ^^)