Frage zur Induktive Statstik(diskrete Verteilung)

Wissenschaft Physik
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Guten Abend zusammen ^^,

ich sitze hier gerade an einer Aufgabe zur Induktiven Statistik zu Eindimensionalen diskreten Verteilungen und komme einfach nicht weiter.

Die Aufgabenstellung ist folgende:

Die unabhangigen Zufallsvariablen X und Y haben die folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

0,4 fur x = 1
f(x) = 0,5 fur x = 2
0,1 fur x = 3
0 sonst

0,6 fur y = 0
f(y) = 0,4 fur y = 1
0 sonst

Tragen Sie in die folgende Tabelle die Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Zufallsvariablen
Z = X + Y ein.

z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
f(z) | | | | |

Die Lösung ist:
0 1 2 3 4
0 0,24 0,46 0,26 0,04

Aber wie kommt man darauf? Ich bin zwar schon einige Aufgaben zu diesem Gebiet gerechnet, aber ich komme einfach nicht auf das Ergebniss…

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Hallo.

Die Aufgabenstellung ist folgende:

Die unabhangigen Zufallsvariablen X und Y haben die folgenden
Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
0,4 fur x = 1
f(x) = 0,5 fur x = 2
0,1 fur x = 3
0 sonst

0,6 fur y = 0
f(y) = 0,4 fur y = 1
0 sonst

Tragen Sie in die folgende Tabelle die
Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Zufallsvariablen
Z = X + Y ein.

z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
f(z) | | | | |



> Die Lösung ist:  
> 0 1 2 3 4  
> 0 0,24 0,46 0,26 0,04

Aber wie kommt man darauf? Ich bin zwar schon einige Aufgaben
zu diesem Gebiet gerechnet, aber ich komme einfach nicht auf
das Ergebniss…

Nur eine Vermutung: die Ergebnisse werden auf 1 normiert, da eine Dichtefunktion innerhalb des Def.bereichs immer den den Wert 1 ergeben muss.
Aber: z=0 für x=0 und y=0 -> 0 + 0,6
z=1 für x=0 und y=1 oder x=1 und y=0 -> 0+0,4 + 0,4+0,6
z=2 für x=0 und y=2 oder x=1 und y=1 oder x=2 und y=0 -> 0+0 + 0,4+0,4
+0,5+0,6

–>> Liegt vielleicht ein Schreibfehler vor und es heisst Z = X*Y ?
Wenn man die Ergebnisse multipliziert statt addiert, sieht das nämlich gut aus:
0*0,6 = 0
0*0,4 + 0,4*0,6 = 0 + 0,24
usw…

mfg M.L.

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Moin^^

Die unabhangigen Zufallsvariablen X und Y haben die folgenden
Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

P({X= 1})=0,4
P({X= 2})=0,5
P({X= 3})=0,1

P({Y= 0})=0,6
P({Y= 1})=0,4

So, sieht besser aus :wink:

Also, X und Y sind unabhängig, d.h. die Wahrscheinlichkeiten beeinflussen sich nicht.

Wenn X=1 und Y=0 eintritt, dann wäre Z= X+Y= 1.
Die Wkt. für {X= 1} ist 0,4 und für {Y= 0} ist 0,6.
Die Wkt. für ({X= 1} und {Y= 0}) ist für unabhängige Zufallsvariablen gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten, es gilt:

P({X= 1} und {Y= 0}) = P({X= 1}) mal P({Y= 0}) wenn X und Y unabhängig.

Daraus ergibt sich:

P({Z= 1})
= P({X= 1} und {Y= 0})
= P({X= 1}) mal P({Y= 0})
= 0,4 mal 0,6
= 0,24.

Bei Fällen wie {Z= 2} gibt es mehrere Elementarereignisse, so dass zusätzlich Summen zu bilden sind:

P({Z= 2})
= P(({X= 2} und {Y= 0}) oder ({X= 1} und {Y= 1}))
= P(({X= 2}) mal P({Y= 0}) plus P(({X= 1}) mal P({Y= 1})
= 0,5 mal 0,6 plus 0,4 mal 0,4
= 0,46

Aber wie kommt man darauf? Ich bin zwar schon einige Aufgaben
zu diesem Gebiet gerechnet, aber ich komme einfach nicht auf
das Ergebniss…

Nun, wenn Du die Unabhängigkeit von X und Y als entscheidene Information bedenkst, dann schon!

Lieben Gruß
Patrick

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X Y Z=X+Y f(X) f(Y) f(Z) 
1 0 1 0,4 0,6 0,24 0,24

2 0 2 0,5 0,6 0,3 
1 1 2 0,4 0,4 0,16 

 2 0,3+0,16 = 0,46

3 0 3 0,1 0,6 0,06 
2 1 3 0,5 0,4 0,2 

 3 0,06+0,2 = 0,26

3 1 4 0,1 0,4 0,04 0,04

f(Z) = f(X)*f(Y) wegen Unabhängigkeit der Zufallsvariablen.