Liebe/-r Experte/-in,
ich habe folgendes Problem:
Eine Urne enthält (praktisch „unendlich viele“) schwarze und weiße Kugeln. Es wurden bereits 10 Kugeln gezogen. Diese waren alle weiß. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Kugel wiederum weiß sein wird?
Ich würde sehr gerne ohne irgendwelche zusätzlichen Vorannahmen über das Anteilsverhältnis schwarze/weiße Kugeln auskommen.
Hast Du eine Idee/kennst die Lösung?
Liebe Grüße
Christoph Wimmer
Hmm, würde jetzt mal aus dem Stand auf Borel-Cantelli-Lemma tippen.
Viel Erfolg
Annahmen über unendliche Gesamtheiten diskreter Objekte gehören grundsätzlich nicht in die Stochastik!
Oder anders formuliert: Jede beliebige Aussage kann widerlegt werden. Also auch die, dass sich eine bestimmte vorgegenen Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung ändert/ nicht ändert!
Hallo,
die W. beträgt 0,5. Analoge Betrachtung bei Würfel: Auch dieser enthält unendlich viele Sechsen, somit ist die W. eine 6 zu würfeln 1/6.
Grüße
Eine Urne enthält (praktisch „unendlich viele“) schwarze und
weiße Kugeln. Es wurden bereits 10 Kugeln gezogen. Diese waren
alle weiß. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
nächste Kugel wiederum weiß sein wird?
Hmmm, „praktisch unendlich viele Kugeln“ gibt es nicht. Wichtig ist natürlich auch, wie das Verhältnis zwischen weiss und schwarz zu Beginn ist, sonst sind keine Aussagen möglich. Wenn ich mal von unendlich vielen Kugeln im Verhälntis 1:1 ausgehe, bin ich beim allseits bekannten Roulette Problem: Bei den letzten 10 Versuchen kam immer schwarz. Der Roulette Tisch ist nicht manipuliert. Wie groß ist die Chance auf Rot im nächsten Versuch?
Antwort: IMMER 50%, die Roulettekugel hat kein Gedächtnis
dass unendlich viele Kugeln drin sind bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern wenn du eine Kugel ziehst.
Ohne weitere Angaben kann man keine Aussage machen. Denn es kommt hier NUR darauf an, wie das Verhältnis zwischen weißen und schwarzen Kugeln ist.
Gruß
Alexander
Das geht nicht!
Hallo Christoph,
ich bin zwar nicht der Superexperte in Stochastik, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass es bei unendlich vielen schwarzen und unendlich vielen weißen Kugeln keine Möglichkeit gibt die Wahrscheinlichkeit der nächsten Kugel vorherzusagen. Dabei ist es völlig egal, dass zuvor schon 10 weiße Kugeln gezogen wurden.
Wenn nämlich von jeder Sorte unendlich viele Kugeln vorliegen, ist das immer noch so, auch nachdem 10 weiße Kugeln gezogen wurden.
Du müsstest dich leider doch mit irgendwelchen Vorannahmen abfinden.
Schöne Grüße von Werner
Hallo Christoph,
eine Wahrscheinlichkeit kann man nur dann berechnen, wenn die WahrscheinlichkeitsVERTEILUNG (also in diesem Fall das Verhältnis weiße/schwarze Kugeln) bekannt ist.
Das ist wie bei einem Produkt: Man kann es nur dann berechnen, wenn man BEIDE Faktoren kennt.
Das einzige, was man hier machen könnte, ist: Hypothesen testen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass folgende Hypothese H0 stimmt, wenn bei der Stichprobe a (hier: 10) von n Kugeln weiß sind?
H0: Mindestens x (hier: 100)% der Kugeln sind weiß.
Dafür muss man ein Signifikanzniveau (meist 5%) angeben.
Dabei gibt es dann noch zwei Fehlerarten zu berücksichtigen und überhaupt ist das Ganze nicht trivial, jedenfalls zu komplex, um hier ausführlich darauf einzugehen (außerdem müsste ich selbst nachlesen).
Wenn diese Betrachtungsweise für dich in Frage kommt, solltest du mal „Hypothesentest“ o.Ä. googeln.
Auch beim Hypothesentest legt man übrigens eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu Grunde (meist Normalverteilung).
Hallole,
es kommt doch _gerade_ auf das Verhälnis s/w an! Daß beim Ziehen vorher nur weiße Kugeln kamen, verführt zwar zur Haltung, daß jetzt endlich mal schwarz kommen muß, doch dafür gibt es keinen vernünftigen Grund.
Gruß
G. Aust
Hallo Christoph,
erst einmal eine „praktische Antwort“. Ich weiß nichts über die Urne, nur daß beliebig viele Kugeln darin liegen! (Vor allem nicht, daß dort Kugeln verschiedener Farben vorhanden sind!!!) So: Nun mache schließende Statistik. Ich ziehe eine Stichprobe von Kugeln, um den Anteil der weißen Kugeln zu bestimmen. Siehe da: die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Kugel beim Ziehen ist = (Anzahl der weißen Kugeln in der Stichprobe)/(Größe der Stichprobe) = 10/10 --> Wau !! Diese „Punktschätzung“ sagt, es gibt nur weiße Kugeln in der Urne! Tja!
Erste theoretische Antwort: In der schließenden Statistik bleibt man aber an dieser Stelle üblicherweise nicht stehen, sondern berechnet auch noch die Sicherheit für diese Aussage. Schließlich macht es offensichtlich einen Unterschied, ob ich 10 oder 100 oder 1000 mal nur weiße Kugeln gezogen habe! (Test auf Erfolgswahrscheinlichkeit, binomialverteilte Grundgesamtheit !!)
Zweite theoretische Antwort: Man macht Annahmen über den Anteil der weißen Kugel und bestimmt dann die Wahrscheinlichkeit den Ausgang des Experimentes und hofft, daß man zu einem vernünftigen Ergebnis kommt ( Theorem von Bayes für Fortgeschrittene, vgl. Star Trek, das erste Raumschiff Enterprise, vorletzte Staffel, ( irgendwelche Fremde aus einem anderem Raum-Zeit-Kontinuum wollten mit großen automatischen Stationen unser Raum-Zeit-Gefüge dem ihrem anpassen,… ) die Folge, in der die Vulkanierin aus den „strukturellen“ Störungen im Raum plötzlich die Positionen von über 40 oder 50 derartiger Stationen berechnet hat, …
vgl. Numbers, normales Verfahren, einen Verdächtigen zu lokalisieren: Alle Sichtungen des Verdächtigen werden jeweils einzeln als richtig angesehen, wie groß ist dann jeweils die Wahrscheinlichkeit, das die Zeitlich nächsten Sichtung richtig sein könnte) Du hast anscheinend sofort gesehen, daß dieses die komplizierte Methode ist.
MfG
H.-D.
Hallo,
um ehrlich zu sein, bin ich kein großer „Stockastiker“…
Daher entschuldige ich mich, dass ich in diesem Fall nicht weiterhelfen kann, und hoffe, dass irgendjemand anderes eine Antwort parat hat!
Viele Grüße,
DaMattaCrack
Hallo Christoph,
Stochastik war nie mein Lieblingsfach…
Wenn Du davon ausgehst, dass es wirklich je unendlich viele (also Aleph-Null) schwarze und weisse Kugeln sind, dann sollte nach meiner Meinung 0,5 rauskommen. Egal wie viele Kugeln Du vorher gezogen hast.
Bei endlich vielen muesste sich das eigentlich normal ueber die Standardformel mit 10 gezogenen weissen ausrechnen lassen. Je groesser die Anzahl aller Kugeln, desto mehr muesste die Wahrscheinlichkeit gegen 0,5 konvergieren. Hmm, sonst erst mal keine spannende Idee.
viele Gruesse,
Martin
50%
Lieber Christoph, ich bin nicht sicher, ob Deine Frage noch von Bedeutung für Dich ist, aber ich konnte nicht vorher antworten, da ich länger im Ausland war.
In Deiner Frage sagst Du nicht, wie das Verhältnis von schwarzen zu weißen Kugeln ist. Wenn es 1:1 - was ich annehme - ist, dann gibt es bei jedem Zug eine Wahrscheinlichkeit von p = 0,5 - unabhängig davon, welche und wieviel Kugeln vorher gezogen wurden. Anders geht das nicht… Wenn Du keine Annahmen über die Verteilung machst, kannst du nichts dazu sagen… leider. Man kann allerdings annehmen, dass bei 10 vorher gezogenen weißen Kugeln die Wahrscheinlichkeit, ein schwarze zu ziehen, größer ist als 0,5 …
Keine Ahnung