Frage zur Tensorrechnung

Liebe/-r Experte/-in,

ich fange gerade an in meinen Semesterferien (Anfang 4. semester physik) mich mit der Tensorrechnung (bin nun am Anfang der Ableitungen) zu beschäftigen.

Nun habe ich aber ein Problem, weil ich in verschiedenen Büchern anscheinend verschiedene Definitionen gefunden habe.
Konkret geht es um:

\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}

Ich weiss nicht welches der beiden Sachen es bedeutet:
1.) Es ist eine ganz normale partielle Ableitung (covariant) von der Funktion (Tensorfeldern)
2.) Es ist ein Basisvektor (covariant). Der Vektor ist das Bild der Einheitsvektoren e_i unter der Abbildung Untermannigfaltigkeitskarte --> Mannigfaltigkeit (was ja ein Diffeomorphismus ist). Mit dem Vektor \partial_\mu kann man dann natürlich alle Tangentenvekotren am Punkt P zusammensetzten, weil es Basisvektoren des Tangentialraums sind.

Habe ich etwas komplett falsch verstanden? Könnten beide Definitionen richtig sein?

Hoffe Sie können mir helfen.

Gruß
Alexander Roth

Hallo, Alexander,

erst zwei ganz allgemeine Antworten:

  1. Die momentan aktuellen Lehrbücher und deren Notations-Moden kenne ich nicht (mein Diplom in Physik war 1992)

  2. Allgemein erinnere ich mich, dass die Verwendung von Indices bei verschiedenen Autoren verschieden war. In diesem Sinne kann beides „richtig“ sein, aber eventuell nur im jeweiligen Buch. Vielleicht kannst du mir die beiden Definitionen mit ein wenig Zusammenhang, z.B. den Beispielen, die das jeweilige Buch bietet, schreiben?
    Meine persönliche Meinung: Falls es keine für dich verständlichen Beispiele liefert, leg es weg. Falls drei deutsche Bücher keine verständlichen Beispiele liefern, lies lieber ein amerikanisches. Die dortigen Autoren haben m. E. den Wunsch, dass man sie versteht, während die deutschen Autoren den Wunsch haben, dass man sie bewundert, weil man sie nicht versteht. Das aber nur am Rande.

Bis später

Jochen

Hallo,

vielen Dank für die Antwort. Es scheint unterschiedlich in den Büchern definiert zu sein.

\frac{\partial}{\partial x^\mu} wurde im Buch von Ray d’Inverno benutzt wie in 2.) erklärt. Dies finde ich sehr missverständlich, da man genug wirkliche Ableitungen hat.

Ich habe nun neu angefangen mit dem Buch von Hobson, Efstathiou und Lasernby (Cambridge) und scheine, da dort 1.) verwendet wird, keine Probleme mehr zu haben.

Trotzdem vielen Dank. Mit der Bücherssuche ist es nie so einfach…

Gruß
Alexander Roth

Hallo,

sorry, da kann ich leider nicht weiterhelfen. Tensorrechnung ist lange her, und bevor ich irgeneinen Blödsinn erzähle…

Viel Erfolg trotzdem!
Stefan Busse

Hallo Alexander,

tut mir Leid, dass ich mich so spät melde, ich war leider gerade lange Zeit nicht erreichbar. Obwohl ich vermute, dass Sie die Antwort bereits anderweitig gefunden haben, versuche ich noch kurz zu antworten.

Dass Sie in verschiedenen Büchern verschiedene Definitionen finden, ist gerade in der Physik häufig. Es kommt immer darauf an, wie detailliert auf die zugrundeliegende Mathematik eingegangen werden soll oder muss.

In diesem Fall bin ich nicht sicher, mit welchem Gebiet Sie sich momentan beschäftigen. Ihre zweite Möglichkeit suggeriert mir, dass Sie sich auch mit Differentialgeometrie und -topologie beschäftigen und dort ist die Defintion tatsächlich etwas abstrakter. Dies hängt leider aber auch wieder davon ab, auf welche Weise Mannigfaltigkeiten und deren Tangentialräume definiert werden, da es hier drei verschiedene, äquivalente Definitionen gibt.

In der mir geläufigen Definiition sind die partiellen Ableitungen Elemente des Tangentialraumes in einem Punkt der Mannigfaltigkeit. Die partiellen Ableitungen in Richtung der Koordinaten bilden dann eine mögliche Basis für den Tangentialraum.
Die zweite Antwort funktioniert also.

Die erste Antwort ist aber auch richtig. Wenn man z.B. nur spezielle Relativitätstheorie betrachtet, dann kann man sich die meisten differentialgeometrischen Überlegungen schenken, da der Raum flach ist und die Tangentialräume unter gewissen Voraussetzungen isomorph zur Mannigfaltigkeit sind. Dann sind die von Ihnen gefragten Symbole einfach simple, partielle Ableitungen.

Hoffe ich konnte Ihnen vielleicht wenigstens noch eine weitere Betrachtungsweise schildern.

Viele Grüße
CK

Guten Tag,

vielen Dank für die Antwort! Zur Zeit beschäftige ich mich nicht mehr mit Tensoren, werde aber irgendwann eine Vorlesung dazu belegen.

Ihre Erklärung war trotzdem hilfreich.

Mit freundlichen Grüßen

Alexander Roth

Über die Tensorrechnung./ Teil 1, - Anfang/

Guten Tag!
Ich sehe, dass die Frage von Alexander Roth, bis heute, keiner ausführlich antworten könnte, oder zumindest, - wollte. Jetzt, ich werde es versuchen… meine „5 Cent“ in Thema „Tensorrechnung“ - konkret in Frage der Interpretation den partiellen Ableitungen - beibringen. Da ich schon jetzt vermute, dass viel dafür zu sagen wird, ich möchte meine Texte verteilen und mit kleinen Portionen die entsprechende Fortsetzungen, nach bestimmten Zeitabständen, zuschicken/wenn die Betreiber der Webseite „Wer Weis Was“ und Moderatoren diese Art der Arbeit mir erlauben/ einmal von 2 Wochen, bis 1 Monat so denke, wird es mir möglich. Ich werde in verschiedenen fachlichen Büchern nachschlagen, und, was ich interessantes für diese Thema oder Frage, finde und verstehen fähig bin, ich werde nach und nach euch mitteilen. Selbstverständlich, ich werde auch meine eigene kritischen Gedanken darüber euch melden… falls ich werde sie haben. Dies wird also, meine kleine Forschung im bestimmten Bereich der Mathematik, oder, wenn ihr wollt, „eine kleine Reise in den dunklen Wald“ des Wissens.

Womöglich, ihr werdet auch meine Gedanken und Verständnisse fehlerhaft finden, - kann auch sein. Dann, jedenfalls, ich werde freuen darüber zu diskutieren. Jedenfalls, da ich meine Gedanken selbst immer auch, zuerst, überprüfe - bevor ich sie veröffentliche - deswegen, womöglich, auch dazu etwas zu mitteilen - euren Meinung dadurch, etwas entgegensetzen, um die eigene zu argumentieren, - haben werde.

Also, noch näher zum Thema der Tensorrechnung. Mit Tensoren und Tensorrechnung soll man sich immer interessieren, so denke. Da diese sind, wie aus philosophischen Gründen, wichtig, - die Grundlagen den Mathematik zu verstehen, - so auch, von praktischen Gründen hilfreich sind. Etwa, um die angewandte Probleme der Technik und Technologie zu lösen. Es ist so, weil die Tensoren, als mathematische Objekte, und die Tensorrechnung, als Disziplin der Mathematik, den umfangreichen Instrumentarium für die wissenschaftliche Forschungen, aber auch für mathematische Modellierung in verschiedenen Bereichen der Technik, der Erkennung, für Erfindungen - Schöpfungen den nützlichen Geräten, - den theoretischen Instrumentarium liefern.

Der praktische Instrumentarium kann auch, manchmal, ein wenig, relativ unlogisch, oder mit diplomatischen Begriff es zu ausdrücken, „konventionell“ sein, wenn etwa, es um die Rezepturen den Anwendungen geht. Wichtig ist immer, dass Resultat den Berechnungen stimmt, klar. Jedenfalls, das, auch, nicht so gut – zumindest, aus reinen philosophisch-theoretischen Sicht, - ist, wenn die praktische Rezepten für den mathematischen Berechnungen, unlogisch sind. So war es in Geschichte der Mathematik von Anfang, schon, geschehen./wird fortgesetzt/.

Guten Tag,

also inzwischen ist die Frage sehr veraltet, und da ich im Studium wesentlich weiter bin, hat sich diese Frage erübrigt. Inzwischen bin ich auch nicht mehr hundertprozentig sicher was ich damals genau gemeint habe, glaube aber das sowohl 1 als auch 2 korrekt ist.

Damit sehe ich dieses Thema als geschlossen an.

MfG
Alexander

Guten Tag, lieber Alexander und alle Leser der WWW!

Du, lieber Alexander hast 2 Jahre zuvor, eine interessante Frage über Tensorrechnung gestellt, auf welche keine klare Antwort bekommen hast.
Ich bin schon fast 2 Jahre in WWW registriert, aber, es schien mir nicht so interessant, zu langweilig in WWW zu vorbeischauen, und ich es, leider, vernachlässigte, nicht besuchte. Ich habe mich registriert als „Fortgeschrittene in Tensorrechnung und Kontinuummechanik“. Aber, habe, wie gesagt, die WWW nicht besucht.
Jungst, aber, ich habe E-Mail bekommen, wo die Moderatoren von WWW haben mich eingeladen auf einige Fragen zu beantworten. Dafür bin ich ihnen sehr dankbar. Die einige von vorgestellten Fragen waren primitiv, gar lächerlich, aber einige waren interessant - wie etwa über die Theorie der Tensorrechnung. Also, Deine Frage. Ich finde sie – so wie es gestellt war - sogar sehr interessant.

Und auch, verstanden habe, dass Du verzweifelt mit der Theorie von Tensoren bist, und, alles mögliche, dafür klären willst. Ich habe deswegen, entschieden die Serie von den kurzen Kommentarien-Meldungen über diese Thema zu starten. Versuchen, also, wollte, des Weiteren, diese und verknüpfte Fragen, zusammen mit Dir und anderen Interessanten, zu klären.

Kurz will mich vorstellen. Ich studierte im 70-80 Jahren im Moskau, - Lomonossow Uni die Mathematik und Kontinuummechanik und, im Öl Institut Gubkins die Angewandte Mathematik.
Jetzt, von 2003, bin im Deutschland.

Habe diese Deine Meldung so verstanden, dass Dir, lieber Alexander diese Thema nicht nur uninteressant mehr ist. Das ginge schon. Aber, warum Du willst diese Frage mir verbieten zu besprechen?
Was heißen, Dein Satz: „Ich sehe diese Thema als geschlossen an“, soll? Du meinst dass unsere 2 unterschiedliche Meinungen dafür sind nicht gleichberechtigt? Und, dass ich nur wegen Deiner Meinung dafür, soll meine Forschung stoppen, die Gedanken über diese Thema dafür zu abbrechen? Und, gar mir soll verbieten werden, meine Gedanken darüber hier zu melden?
Aber, ich mag, doch darüber zu denken, über Mathematik, eben. Warum ich soll es stoppen? Weil, Du die Theorie des Tensorrechnung nicht möchtest?
Keiner, doch, bezwungen sein soll wegen deiner Wille dafür, die Forschungen, die, - dank Dir - er begannen hatte, zu stoppen, oder? Ich hoffe, dass auch mich es betrifft.
Die Mathematik ist Dein Beruf? So habe ich verstanden.
Und ich habe so verstanden, dass Du hast mir zu mitteilen versucht, dass es nicht jetzt meine Sache ist, damit sich zu beschäftigen? Soll ich meine Forschung jetzt, Deiner Meinung wegen, zu stoppen?
Aber, bitte, lieber Alexander! Hast Du das Recht diese „Frage zu schließen“, die, womöglich, nicht nur mir, aber, vielen anderen auch interessant verbleibt?
Ich bin nicht einverstanden dafür. Da zumindest mir diese Frage bleibt von großen Interesse, lieber Alexander! Und, ich bin ja auch, ein Mensch, und zwar, ein registrierter Mitglied der WWW!
Und, ich denke, dass wir sollen, doch, die karrieristische, amtlichen Interessen und die Interesse zu Mathematik selbst, lieber Alexander, zu unterscheiden, nicht?
Mit Dir, und anderen, sehr geehrten Fragestellern, und, na klar, auch mit mir, die Wissenschaft, insbesondere, die Mathematik, soll sich, doch, nicht „erübrigen“ lassen… so denke.

Die Mathematik ist schön und ewig, sie existiert nicht nur dafür, um Dir, oder mir, oder noch jemandem sich zu behaupten, Karriere zu machen zu erlauben, oder, zu ermöglichen, uns den Diplome zu bekommen und die gute Gelder dann zu verdienen, zu ermöglichen.

Die Mathematik ist mehr, als Beruf, als die Behauptung in Gesellschaft, als die Karriere, als der Amt, - egal wie groß dieser auch ist, lieber Alexander!

Die Mathe ist Inbegriff der Wahrheit, Schönheit und Ewigkeit, lieber Alexander!

Wenn, jedenfalls, Du, sogar, jetzt, also, heutzutage „nicht hundertprozentig sicher“ bist, was Du damit „gemeint hast“ wenn Du diese Frage über Tensoren gestellt hast, - dies bedeuten eines nur kann. Du bist mit dieser Frage auch, jetzt, überfördert, also noch, gar und gar nichts fertig mit Struktur der Mathematik, zu sein, sie zu verstehen können, was sie überhaupt ist!

Und, das heißt, nur Deine Lehrer sind mit dir als „Mathematiker“ zufrieden. Aber, das heißt, lieber, Alexander, dass dies alles, was du hier argumentierst, hindeutet nur über deine Beziehungen mit deinen Lehrern! Und, na klar das hat Wirkung klar auf deine amtlichen Erfolge im Bezug mit offiziellen Strukturen des Staates! Du wirst Professor! Glückwunsch!

Aber. Dies zeigt nur den Grad der Zufriedenheit deinen Chefs und Lehrer mit deinen „Ergebnissen“… welche sie zu einschätzen selbst können, heißt es, kompetent genug, oder fähig sind.

Diese Deine Zufriedenheit mit Laufbahn deiner Karriere, aber, hat mit Mathematik eigentlich, nur wenig zu tun, lieber Alexander.

Und das heißen kann, dass sie, deine Chefs und Lehrer weder wissen den Antwort auch, noch damit, sich interessieren. Sollen sie und ihre Lehrlinge „Mathematiker“ heißen? Zumindest in Sinne, was etwa, ich unter diesem Begriff, „Mathematiker“, verstehe?

Nein. Für mich, zumindest, Du selbst, deine Chefs und Lehrer sind nicht unbedingt die „Verkörperung der Mathematik“, lieber Alexander!

Schade, dass Du zumindest, jetzt, keinen wahren, nichtegoistischen nichtkarrieristischen Interesse zu Mathematik und zu diesem Gebiet der Mathematik, - Theorie der Tensorrechnung, - genießen kannst.

Das scheint, etwa, für mich, unmöglich zu sein, für sich die ganze Gebiete der Mathematik als „übrige“ zu halten.
Sie alle sind interessant und schön, glaub mir, lieber Alexander!

Ich hoffe, trotzdem, dass es gibt noch viele Menschen „übrig“, die sich, zurzeit, mit Mathematik, insbesondere, mit Tensoren und Tensorrechnung interessieren!
Und, insbesondere, sehr, mit der Kernfrage, - über Basisvektoren in Bezug auf die partiellen Ableitungen, - die Du, damals, gestellt hast!

Deswegen, ich werde meine Arbeit fortsetzen, bitte sei nicht dafür auf mich sauer!

Für diejenigen, also, es tun werde, - weiter zu schreiben, - die, die Mathematik mögen, sie verstehen. Oder, zumindest, so wie ich bin, - sie, die Mathematik, - verstehen wollen.
Für diejenigen also, ich werde meine Arbeit fortsetzen, die nicht nur um die Diplome, Atteste, Zeugnisse zu bekommen, - die Mathematik studieren, lernen und die Zeit und Geld darin investieren. Aber, für denen, - werde es tun, mich einsetzen werde, - die, die Mathematik und theoretische Physik wirklich, und ehrlich, verstehen wollen.
Für denen schreiben will, die ihre Dissertationen nicht nur um die große Posten und Ämter zu bekommen, gestalten, oder, gar, „basteln“.

Also, für denen ich schreiben werde, die, deswegen die Mathematik, theoretische Physik, studieren, mit Mathematik und theoretischer Physik sich beschäftigen, seine preiswerte Lebenszeit daransetzen, investieren, - weil sie, die Geheimnisse des Universums zu begreifen streben!

Ich will auch, lieber Alexander, die wahre Antworten auf die unterschiedliche Fragen der Mathematik und Physik haben, egal gibt es noch jemanden, den so was noch, - außer mich - interessiert.
Egal, wie es so einfach, oder, primitiv, - zumindest für denen, die für sich diese Wissenschaften als „Beruf“, heißt es, als „Geldquelle“ verstehen, und, nur deswegen, sich in diesen Bereichen des Wissens, zu behaupten streben – klingt, lieber Alexander!

Deswegen, schreibe für gleichen, solchen wie mich. Diejenigen, die in Mathematik weder „erübrigte“ Gebiete jetzt, sehen können, noch, in Zukunft, irgendwelche, Gebiete der Mathematik und Physik noch, als solche, „erübrigte“ zu einschätzen, fähig sind.

Für denen, ich schreiben werde, die, die Mathematik mögen, wie ich etwa sie mag. Deswegen, ich werde weiter arbeiten und schreiben in WWW und, dieses Antwort weiter, fortsetzen.

Na klar, das heißt, in klaren Wörtern, in diesem Falle für denen schreiben werde, die, die Antwort auf diese und andere, verknüpfte Fragen, wissen wollen. Heißt es, unabhängig von der Einstellung den Fragestellern dafür, ich diesen Antwort und, andere Antworte, schreiben werde… Die WWW ist doch nicht nur dafür gemeint, das Wissen zu verheimlichen! Eben, sie zu veröffentlichen zu verbieten, - falls der Fragesteller sich nach veränderten Umständen, die Mitteilungen darüber, zu verbieten, oder, zu verheimlichen, strebt.

Und, da der Antwort nicht so einfach ist, deswegen - für denen, die, wie gesagt, die Interesse dafür haben, - ich auch weiter, die ganze Menge Kommentarien schreiben werde, über die Frage, die Du gestellt hast. Darüber bin ich Dir dankbar. Also, ein kleines Forschungsprojekt vollziehen werde, oder, gar mittelgroßes, wenn es benötigt wird… und, na klar, falls mir dies hier, mit Leitern, Zuständigen für WWW, erlaubt wird.

Jedenfalls, irgendwie, auf diese Frage – über Beziehung zwischen, und, „in Bezug auf“, den partiellen Ableitungen und Basisvektoren - ist nicht möglich, kurz zu beantworten, diese Frage zu klären.
Deswegen, ich bitte dich, lieber Alexander Roth, um Verzeihung, wegen meine feste Voreinstellung und Entschiedenheit, dies weiter zu machen!

Vergiss es, sie, einfach, wenn sie dich nicht mehr interessiert, diese Frage, da sie, jetzt, meine ist!

Die weggeschmissene Dinge jeder, der diese gebrauchen will, kann auch für sich, sie aneignen, nicht wahr?

Ich wünsche Dir und allen - denen, die mit Tensorrechnung sich nicht interessieren, oder, sie für „erübrigt“ haben und, trotzdem, sich als „a la Mathematiker“ halten - alles gute was sie und, Du selbst sich wünschen. Wie etwa, im karrieristischen Bereich, - in „der Welt“, wo die Ämter zählen, - sich zu behaupten, gar Kanzler, oder, Papst zu werden, und, und, und!

Mit freundlichen Grüßen, Dein Waldemar Pronkin.