Fragen zur Exponentialfuntion

Wissenschaft Mathematik
#1

hi leute ,
ich entschuldige mich dafür, dass ich euch in letzter zeit zu oft um hilfe bitte.
Aber ich habe einpaar mathematische probleme die mir sorgen bereiten.Es geht wieder um die Exponentialfunktionen. Dazu habe ich mir einpaar Übungsaufgaben aus dem Buch ausgesucht und versucht zu bearbeiten (Manche von den Aufgaben hatte ich schon bearbeitet aber ich hatte nur die Lösung angegeben).

1)Zeigen sie, dass die Graphen f(x)=(x-1)*e^(-) und f´(x)=-x*e^(-x) genau einen Schnitpunkt S haben und geben Sie seine Koordinate an.
Prüfen sie rechnerisch, ob sich die beiden Funkionen im punkt S rechtwinklig schneiden.

Hierzu habe ich das Gleichsetztungs verfahren angewendet.
(x+1)*e^(-x)=-x*e^(-x) | /e^(-x)
x+1 =-x | *(-1)
-x-1 =x

ab hier kam ich nicht weiter und den zweiten teil der aufgabe habe ich gar nicht verstanden.

2)Die parallele zur y-Achse mit x=u, u>0 schneidet den Graphen von f im Punkt P(u/f(u)) und den Graphen von f´ im punkte Q(u/f´(u)).
Bestimmen sie u so, dass die länge d(u) der Strecke PQ maximal wird und geben sie diese maximale Länge an.

DIese aufgabe habe ich leider nicht so richtig verstanden, aber in meinen unterlagen stand als Lösung d(u)=(2*u+1)*e^(-u)

Und ich wollte noch etwas fragen, wenn f´(x) eine nullstelle hat (z.b. im punkt (0/0) ), dann hat doch der Grapf f(x) ein Extrempunkt oder ? Und durch das Vorzeichenkriterium, kann man herausfinden ob es sich um ein Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.Ich wollte fragen ob mir das jemand erklären kann.

Ich entschuldige mich nochmals bei denjenigen die ich störe und bedanke mich an diejenigen die sich zeit hierfür zeit nehmen.

mit freundlichen Grüßen
Ramazan

#2

Leider kann ich aus zeitlichen Gründen Deine Anfrage nicht beantworten.
Viel Erfolg.

Schöne Grüße,

Thomas

#3

wie, du kommst da nicht weiter?..
du hast doch schon
x+1=-x
jetzt rechnest du auf beiden Seiten „+x“ und „-1“ und kommst dann auf
x=-\frac{1}{2} und schon hast du die Schnittstelle…diese setzt du in eine der beiden Gleichungen ein und hast den dazugehörigen y-Wert…
Rechtwinklig schneiden …das heißt das die Steigung der einen Funktion im Punkt S multipliziert mit der Steigung der anderen Funktion im Punkt S gleich -1 ist…
Die Tangente der einen und die Tangente der anderen Funktion(beide im Punkt S) müssen 90° zueinander haben
Bekommt du das hin?.. 1. Ableitung bei beiden bilden und das oben ermittelte x in beide einsetzen …beides miteinander multipliziert muss -1 sein. (Denk an Produkt und Kettenregel)
2) …das heißt eigentlich nur …rechne die eine minus die andere und suche die x-Stelle mit dem größten Minimum oder Maximum…und die "maximale Länge ist dann der y Wert von dieser neuen (f-f’)-Funktion an der Stelle des größten Maximums oder Minimums…Probier mal :smile:
Meld dich, wenn du was brauchst :smile:

#4

1)Zeigen sie, dass die Graphen f(x)=(x-1)*e^(-) und
f´(x)=-x*e^(-x) genau einen Schnitpunkt S haben und geben Sie
seine Koordinate an.
Prüfen sie rechnerisch, ob sich die beiden Funkionen im punkt
S rechtwinklig schneiden.

ich nenne die Funktionen mal f1 und f2

Hierzu habe ich das Gleichsetztungs verfahren angewendet.

OK

(x+1)*e^(-x)=-x*e^(-x) | /e^(-x)

OK

x+1 =-x | *(-1)

Na ja, richtig , bringt aber nichts
x+1 = -x |+x-1
2x = -1 |:2
x = -1/2
f1(x) =(1- 1/2)*e^(1/2) = -1/2*wurzel(e) ungefähr -0,303
f2(x) = -1/2*wurzel(e) ungefähr -0,303

den zweiten teil der aufgabe
habe ich gar nicht verstanden.

Der Punkt S ist der mit S(-1/2; -1/2wurzel(e)

du musst die Ableitungen der beiden Funktionen an dieser Stelle
bestimmen.

Was gilt für sie, wenn die Tangenten an die beiden Funktionen in S zueinander senkrecht sind?

2)Die parallele zur y-Achse mit x=u, u>0 schneidet den Graphen
von f im Punkt P(u/f(u)) und den Graphen von f´ im punkte
Q(u/f´(u)).
Bestimmen sie u so, dass die länge d(u) der Strecke PQ maximal
wird und geben sie diese maximale Länge an.

DIese aufgabe habe ich leider nicht so richtig verstanden,
aber in meinen unterlagen stand als Lösung d(u)=(2*u+1)*e^(-u)

zeichne mal die Graphen zu f1(x) und f2(x) und mehrere Parallelen zur y-Achse

Und ich wollte noch etwas fragen, wenn f´(x) eine nullstelle
hat (z.b. im punkt (0/0) ),

nein, für x=0 z.B.
dann hat doch der Grapf f(x) ein

Extrempunkt oder ?

An der Stelle 0; ja
Und durch das Vorzeichenkriterium, kann man

herausfinden ob es sich um ein Hochpunkt oder Tiefpunkt
handelt.Ich wollte fragen ob mir das jemand erklären kann.

Zeichne mal einen Graphen mit Hochpunkt und einen mit Tiefpunkt.
Beim Hochpunkt H ist die Steigung links von H positiv, rechst von H negativ Bein Tiefpunkt ist es umgekehrt. Das gilt bis zum nächsten Extrempunkt.

Ich entschuldige mich nochmals bei denjenigen die ich störe
und bedanke mich an diejenigen die sich zeit hierfür zeit
nehmen.

mit freundlichen Grüßen
Ramazan

#5

Hallo,

zum 1. Teil von 1). Da bist du doch schon fast fertig.
-x-1 = x |+x
-1 = 2x |:2
-1/2 = x
Dann das x in eine Funtion einsetzen und du hast den Schnittpunkt.

zum 2. Teil von 1).
Du musst vermutlich von beiden Funktionen die Ableitung berechnen. Die Ableitung von f hast du ja bereits (nämlich f’). Damit kannst du dann an der Stelle x jeweils die Steigung ablesen (nämlich y). Wenn das Produkt der beiden Steigungen (m1 * m2) -1 ist stehen die beiden Tangenten rechtwinklig aufeinander.

Zu 2). Ich glaube deine Annahme stimmt :smile:

Alle Angaben ohne Gewähr (bin in dem Thema auch nicht mehr so drin).

#6

hi leute ,
ich entschuldige mich dafür, dass ich euch in letzter zeit zu
oft um hilfe bitte.
Aber ich habe einpaar mathematische probleme die mir sorgen
bereiten.Es geht wieder um die Exponentialfunktionen. Dazu
habe ich mir einpaar Übungsaufgaben aus dem Buch ausgesucht
und versucht zu bearbeiten (Manche von den Aufgaben hatte ich
schon bearbeitet aber ich hatte nur die Lösung angegeben).

1)Zeigen sie, dass die Graphen f(x)=(x-1)*e^(-) und
f´(x)=-x*e^(-x) genau einen Schnitpunkt S haben und geben Sie
seine Koordinate an.
Prüfen sie rechnerisch, ob sich die beiden Funkionen im punkt
S rechtwinklig schneiden.

Hierzu habe ich das Gleichsetztungs verfahren angewendet.
(x+1)*e^(-x)=-x*e^(-x) | /e^(-x)
x+1 =-x | *(-1)
-x-1 =x

Also hierzu erstmal: Oben schreibst du: (x-1) und jetzt x+1? was ist nun richtig? Rechnen wir mal anhand von x-1 durch:

dein erster Schritt ist ja schonmal richtig. Also bleibt: x-1 = -x =>(wenn man +x und +1 rechnet:smile: 2x=1 also x=1/2. Einsetzen hilft da oft weiter, also ist (0,5-1)e^(-0,5) = -0,3033 = -0,5e^(-0,5)
Das sollte ja einsehbar sein, da beidesmal die gleiche e-Fkt (diese ändert sich beim Ableiten ja nicht) mit -0,5 Multipliziert wird. Soweit so gut.

ab hier kam ich nicht weiter und den zweiten teil der aufgabe
habe ich gar nicht verstanden.

Rechtwinklig ist ja verständlich. Nun wie soll man das Prüfen? Indem man die Steigungen in dem Punkt vergleicht. Ist also die Steigung von f(x) gleich (-1/Steigung von f’(x)) ist die rechtwinkligkeit gezeigt

2)Die parallele zur y-Achse mit x=u, u>0 schneidet den Graphen
von f im Punkt P(u/f(u)) und den Graphen von f´ im punkte
Q(u/f´(u)).
Bestimmen sie u so, dass die länge d(u) der Strecke PQ maximal
wird und geben sie diese maximale Länge an.

DIese aufgabe habe ich leider nicht so richtig verstanden,
aber in meinen unterlagen stand als Lösung d(u)=(2*u+1)*e^(-u)

Also das maximal in deinem Aufgabentext ist immer son Hinweis, dass man Ableitungen verwenden soll. D.h. du sollst die Ableitung der Differenzstrecke, die ja |P(u)-Q(u)| ist, bestimmen und den Extremwert finden.
Wobei P(u) ja nix anderes ist als f(u)und Q(u) ist gleich f’(u). Mehr will ich jetzt nicht verraten :wink:

Und ich wollte noch etwas fragen, wenn f´(x) eine nullstelle
hat (z.b. im punkt (0/0) ), dann hat doch der Grapf f(x) ein
Extrempunkt oder ? Und durch das Vorzeichenkriterium, kann man
herausfinden ob es sich um ein Hochpunkt oder Tiefpunkt
handelt.Ich wollte fragen ob mir das jemand erklären kann.

Ist doch so alles ok, was soll man da noch groß erklären? Die Ableitung gibt ja halt deine Steigung der Funktion an, wenn du jetzt mal die Funktion f(x) betrachtest, kannst du an den Hoch oder Tiefpunkten eine Tangente an deinen Graphen legen, diese wird dann parallel zur x-Achse liegen, also ist die Steigung 0, d.h. f(x) muss 0 sein.

Ich entschuldige mich nochmals bei denjenigen die ich störe
und bedanke mich an diejenigen die sich zeit hierfür zeit
nehmen.

mit freundlichen Grüßen
Ramazan

#7

Hi Ramazan93,

kann im Moment nicht wirklich helfen - sorry.

Nur ganz kurz so viel: Du darfst in der Mathematik nie durch die Variable teilen. Die könnte ja die Größe „null“ annehmen - Division durch null ist unzulässig. Wie Du selbst gemerkt hast, kommt dann nur Unsinn raus, nichts was weiterbringt…

(x+1)*e^(-x)=-x*e^(-x) | /e^(-x)…
ab hier kam ich nicht weiter und den zweiten teil der aufgabe habe ich gar nicht verstanden.

Zur zweiten Aufgabe: (gilt übrigens generell!) stelle Dir eine Wertetabelle auf x=-5, -4, -3,… +4, +5 und skizziere Dir den Graphen. Dann weißt Du schon mal, wo es langgehen soll…

Gruß Bernd