Hallo, liebe (Mathemannen)Gemeinde, kann jemand Auskunft über die METHEMATISCHE Enstehung von Fraktalen geben?
Wohl gemerkt, WAS Fraktale SIND, meine ich wohl (in etwa) zu wissen, auch wie sie praktisch (durch endlose Selsbtreproduktion auf absteigender Stufenleiter) entstehen, aber wie entstehen sie mathematisch?
Ich vermute einen Zusammenhang mit iterierter Funktion auf komplexen Zahlen, ähnmlich der iterierten Potenz i^i^i^i^i^i^^^^^, das ja unendlich „kontraktief“ um 0,438282…+0,36069…i kreisen TUT.
Konkret erbitte ich von Experten eine „Rechenvorschrift“ zur „Konstruktion von `Fraktalen´“.
Herzlichen Dank für alle Hinweise und Beiträge!
Liebe Krüsse, Manni-Dilda.
hi,
Ich vermute einen Zusammenhang mit iterierter Funktion auf
komplexen Zahlen, ähnmlich der iterierten Potenz
i^i^i^i^i^i^^^^^, das ja unendlich „kontraktief“ um
0,438282…+0,36069…i kreisen TUT.
Konkret erbitte ich von Experten eine „Rechenvorschrift“ zur
„Konstruktion von `Fraktalen´“.
du vermutest richtig. fraktale entstehen mathematisch als gebiete, in denen potenzreihen auf komplexen zahlen konvergieren. innerhalb des fraktalen gebiets konvergiert die reihe, außerhalb nicht. was innerhalb und was außerhalb liegt, ist in der gegend des rands erst bei sehr genauer betrachtung zu entscheiden.
hth
m.
Hallo,
ich bin kein Mathematiker, habe aber auch schon mal
bischen mit Fraktalen gespielt .
-> siehe Begriffe: Mandelbaum, Apfelmännchen und
chaotische Funktionenen.
Die Beschäftigung mit chaotischen Funktionen ist auch
schon mal was sehr interessantes.
Ich kenne auch jemanden, der seit Jahren Programme am PC
macht, um schon Grafiken zu bekommen.
Ein sehr bekannter Algorythmus dazu heißt z.B. „Julia“.
Ich habe auch noch ein paar alte Programme und teilweise
auch Quellen (TP) für die Berechnung von Fraktalen.
Gruß Uwi
Ich vermute einen Zusammenhang mit iterierter Funktion auf
komplexen Zahlen, ähnmlich der iterierten Potenz
i^i^i^i^i^i^^^^^, das ja unendlich „kontraktief“ um
0,438282…+0,36069…i kreisen TUT.
Konkret erbitte ich von Experten eine „Rechenvorschrift“ zur
„Konstruktion von `Fraktalen´“.du vermutest richtig. fraktale entstehen mathematisch als
gebiete, in denen potenzreihen auf komplexen zahlen
konvergieren. innerhalb des fraktalen gebiets konvergiert die
reihe, außerhalb nicht. was innerhalb und was außerhalb liegt,
ist in der gegend des rands erst bei sehr genauer betrachtung
zu entscheiden.
hth
m.
Hallo michael,
fraktale entstehen mathematisch als
gebiete, in denen potenzreihen auf komplexen zahlen
konvergieren.
da das entscheidende Kriterium für Fraktale die Selbstähnlichkeit ist, geht es durchaus auch viel einfacher:
Strecke der Länge 1 malen; in der Mitte einen Teilstrich anbringen; in die Mitte der linken Hälfte kommt ein weiterer Teilstrich und immer so weiter (also Teilstriche bei 1/2, 1/4, 1/8, 1/16…).
Dieses Gebilde ist ein Fraktal: Wie stark man auch immer an dem Ende, wo sich die Teilstriche häufen, „hineinzoomt“ – die Sache sieht immer gleich aus, und das ist ja gerade das Wesen eines Fraktals (*). Dieses Konstrukt ist das einfachste Beispiel eines (nichttrivialen) Fraktals. Die „nächsthöheren“ Gebilde sind dann diese Koch- und Peanokurven, von denen ein paar wie Schneeflocken aussehen. Das sind ebenfalls „richtige“ Fraktale. Apfelmännchen und Konsorten, bei denen die komplexe Ebene nach vergleichsweise komplizierten Rechenvorschriften „eingefärbt“ wird, sind dagegen Fraktale auf „hohem Niveau“.
(*) Man mache sich auch klar, daß dies bei einer Teilung mit quadratischer Abstufung (1/4, 1/9, 1/16, 1/25) _nicht_ der Fall wäre!
Mit den besten Wünschen für einen guten Start ins neue Jahr
Martin
hi,
Ein sehr bekannter Algorythmus dazu heißt z.B. „Julia“.
es mag sehr rhythmische algorithmen geben, es gibt aber auch durchaus unrhythmische. algorithmen aber bitte mit i. (SCNR)
m.
Algorithmus für Julia/Mandelbrot
Hi Manni
über den Autoisomorphismus von Fraktalen hatte ich hier
http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv…
bzw.
http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv…
mal was zusammengefaßt.
Die Rechenvorschrift z.B. für die Mandelbrot-Menge bzw. die zugeordneten Julia-Mengen ist die Rekursion (bzw. Iteration):
R(n):= zn+1 → zn2 + c
wobei z und c komplex oder hyperkomplex (quaterionisch) gerechnet wird.
Für den Rechenalgorithmus mußt du natürlich zn+1 in Real- und Imaginärteil zerlegen.
Die Mandelbrotmenge ist dabei z.B. die Menge der Punkte c in der komplexen Ebene [c(real)|c(imaginär)], für die die Rekursionen Attraktoren sind [mit jeweils x0 = (0,0)].
Die Julia-Mengen sind die Mengen der Punkte z in der komplexen Ebene [z(real)|z(imaginär], die, bei festgehaltenem c, jeweils als Startwerte z0 in die Rekursion eingehen.
Die graphische Darstellung der Menge ist dabei ein Trick: Du fragst, ob für einen Punkt c(cr,ci) der Wert von x(xr,xi)n+1 nach n Iterationen noch endlich ist - in diesem Fall genügt es, zu fragen, ob x(xr,xi)n+1 innerhalb des komplexen Kreises mit Radius 2 liegt - und färbst den Punkt in der komplexen c-Ebene entsprechend ein. Je nachdem, wie hoch du iterierst (bzw wie groß du das n wählst) kannst du die fraktalen Eigenschaften des Randes der Mandelbrotmenge (Apfelmännchen) sichtbar machen.
Gruß
Metapher
gesundes Beispiel in 3D
hallo Manni-Dilda,
faszinierend finde ich immer wieder die nahezu perfekten 3-D- Fraktale der Natur, die man auf jedem Gemüsemarkt kaufen kann.
Ein „Romanesco“ oder so ähnlihch, wohl so eine art grüner Blumenkohl vererbt seine Gesamtform in 4 bis 5 Stufen nahezu perfekt, also fast bis runter auf nicht mehr sichtbare Strukturen. Muß man einfach mal gesehen haben, und kann man danach ganz normal kochen.
Gruß
achim
Schrittweise Homogenität
Ihr lieben, an alle Antworter, deswegen dies „up under“:
So „stückfürstück“ helft Ihr, mich dem Phänomen „algebraisch“ zu nähern. Es wird mit zunehmender Näherung zu einer Frage „des Übergangs von der Zahl zur Homogenität“ (besser kann ich es im Moment noch nicht ausdrücken), und damit auch zu einem anschaulichen „Schlüssel“ zur Natur der komplexen Zahlen.
Im Moment kreisen meine Überlegungen um die Identität der Begriffe „Fixpunkt“, „Attraktor“ und „komtraktiv“; es wäre toll, wenn es jemand ähnlich gehen würde.
Dabei habe ich gerade einen „besonderen Hänger“ in der Konvergenzfrage bei der Abbildung der komplexen Zahlenebene auf sich selbst mittels der (unendlich) iterierten Potenz, also von (a+ib)^(a+ib)^^^^. Ich staune dabei vor allem über das Konvergieren auch bei manchen „Argumenten“ mit Betrag > 1, also zB (1+2i)^^^^.
Konergenz gegen: 0.42550444559997+0.59347546970675i
Den „Haupthänger“ aber bildet die „oszillierende Konvergenz“ der „harmonischen iterierten Potenmmz“, nämlich, im rein reellen noch, (1/2)^(1/3)^^^^(1/n)^^^^ zwischen ~0,66 für gerade und ~0,69 für ungerade n.
Also (1/2)^^^^(1/2n), anfangend mit 0,5, steigt auf ->0,66 und (1/2)^(1/3)^^^^^(1/[2n+1]), anfangend mit ~0,793 sinkt runter auf ~0,69, aber die Spanne bleibt dann, „bis ins Unendliche“.
Immer noch keine Ahnung, „was diese Zahlen bedeuten“.
Auskunft bisher bei Profs (zB Zagier): „ja, es stimmt, ich habs gerade überprüft, ~0,66 und ~0,69 !“ Toll!
Wäre toller, wenn von euch und oich jemand ne Idee hätte!
Ein Weiterleben der Diskussion wäre toll!
Liebe Krüsse, Moin, Manni
Für UNS ewige Besserwisser (ich selbst konntes erst nicht glauben, als mich MathCad „überreden“ wollte)
"Du schreibst: x^x^x^x^^^^? Ist das nicht dasselbe wie x^(x*x*x*****)?
Nein, denn:
Was gibt 2^3^4?
2^12 oder 2^81?
Der überzeugende Link:
da 2^3 = e^(ln[2^3]) = e^(3*ln[2]), was ist dann also e^(ln[2^3^4]) ?
Entweder e^(4*ln[2^3]) oder e^([3^4]*ln[2]) also
entweder e^(4*3*ln[2]) oder e^([3^4]*ln[2]) also
entweder e^(12*ln[2]) oder e^(81*ln[2]) ???
Außerdem: 2^3^4, wenn es dasselbe wäre wie [2^3]^4 = 2^12, warum nich gleich 2^[3*4] = 2^12 schreiben?
NUR für WEITERdenker/Mathefreaks:
Ein interessantes „Hilfsmittel“ bei komplexen „Argumenten“, also z^z^z^z^^^mit z ? a+b*i erbringt die Eulersche Formel mit a+b*i = W[a^2+b^2]*(a/W + [b/W]*i)=
W[a^2+b^2]*{cos(acos[a/W]) + sin(acos[a/W])*i} =
W[a^2+b^2]*e^(i*acos[a/W])
Man darf nur nicht bei der Iteration den einen (Vor)Faktor vergessen!
Daher ist es besser, von vorneherein:
W[a^2+b^2]*e^(i*acos[a/W]) = e^(i*acos[a/W]+lnW[a^2+b^2]) zu schreiben, und dies dann mit a+b*i zweiterzupotenzieren.
Und dennoch, oder gerade deswegen sind wir dabei steckengeblieben und kommen nicht weiter, Jojo und ich.
Es gibt da nur etwas Hoffnung durch die (leicht zu beweisende) These von Stefan Welke, daß es sich unter bestimmten Umständen um eine „kontraktive“ Iteration handelt. Merkwürdigerweise liegt diese aber nicht nur für |a+b*i|