Habe da mal eine Frage…
wenn ich eine Metallkugel aus einer Höhe h mit der Masse m fallen lasse, wie kann ich dann berechnen, welche Aufprallgeschwindigkeit sie haben wird?
Als Beschleunigung kann die Erdgravitation heran gezogen werden.
Leider ist mein Physikunterricht zu lange her… 
Hi Stage,
es gibt da folgende Formeln
V = a * t
und
s = a/2 * t2
S = Strecke = h, die Masse spielt keine Rolle.
wir lösen beide Gleichungen nach t auf und erhalten
t = V/a
und
t = sqr(2s/a)
setzen beide Formeln gleich
V/a = sqr(2s/a)
lösen nach V auf
V = a * sqr (2s/a)
voila
allerdings wird die Geschwindigkeit in Wahrheit niedriger sein, weil in dieser Formel der Luftwiderstand nicht berücksichtigt ist. Aber für kleine Höhen kommt es gut hin.
Gandalf
Und da der Luftwiderstand nicht mit einbezogen wird, haben wir Bedingung wie im Vakuum - da fällt eine Feder genau so schnell wie eine Bleikugel…
Hast Du nicht noch was besseres auf Lager?
Hallo,
eine Herleitung hast du ja schon bekommen. Aber vielleicht bist du ja einer eleganteren Herleitung interessiert, die nur von den Definitionen von Geschwindigkeit v und Beschleunigung a ausgeht:
v=ds/dt
a=dv/dt
Division ergibt:
v/a = ds/dv oder vdv=ads
Integriert man dies erhält man schon das Ergebnis:
1/2v²=as
Weil dies, wie ich finde, eine sehr schöne Herleitung ist, konnte ich mir sie einfach nicht verkneifen…
Schönes Wochenende
Oliver
Hast Du nicht noch was besseres auf Lager?
Du kannst auch mit dem Energieerhaltungssatz arbeiten.
Bekanntlich besitzt ja solch eine Kugel in jeder Höhe eine kinetische und eine potentielle Energie.
In der Höhe h ist bei ruhender Kugel die kin. En. null.
Am Boden, also beim Aufprall, ist dann die pot. En. null.
Immer gilt jedoch:
E = Ekin + Epot
Ekin = m/2 * v^2
Epot = m * g * h
weiterhin folgendes (wie oben gesagt):
E(h) = Ekin(h) + Epot(h) = 0 + Epot(h)
E(0) = Ekin(0) + Epot(0) = Ekin(0) + 0
Da E(h) = E(0) (Energie geht nicht verloren) gilt:
Epot(h) = Ekin(0)
also:
m * g * h = m/2 * v^2
(m fällt raus!)
=> v = sqrt( 2 * g * h )
Ist dir diese Erklärung lieber?
Ciao, Bill
Hi Stage, (das ist übrigens eine Anrede!)
Und da der Luftwiderstand nicht mit einbezogen wird, haben wir
Bedingung wie im Vakuum - da fällt eine Feder genau so schnell
wie eine Bleikugel…
genau! Das ist schließlich die Konsequenz, das die Masse nicht in der Formel auftaucht. Aber wie ich schon schrieb, gilt für geringe Höhen (ich schätze für eine Blei- bzw. Stahlkugel so mind. 200 - 300 m) diese Formel recht genau.
Hast Du nicht noch was besseres auf Lager?
So direkt nicht, aber vielleicht kannst Du Dir selber was schnitzen 
Zu berücksichtigen sind (keine Garantie auf Vollständigkeit!)
Das Verhältniss von Oberfläche zu Masse
Der genaue Breitengrad, schließlich ist die Gravitation auf den Polen etwas höher als am Äquator
Der Luftdruck
Die Luftfeuchtigkeit
Geschwindigkeit der Luftbewegung (wir wollen uns schließlich nicht auf Laborbedingungen beschränken)
Temperatur (schließlich ist die Dichte eine Funktion der Temperatur)
Reibungskoefizient (die Kugel erwärmt sich beim Fallen)
Elastizitätsmodul der Luft (ist u.A. eine Funktion der Temperatur, der Dichte, der Feuchtigkeit)
…
viel Spaß beim Dröseln
Gandalf
Hast Du nicht noch was besseres auf Lager?
War das nicht genau genug? Wie wär’s damit:
Die potentielle Energie einer Eisenkugel mit der Masse m und dem Radius r, die in der Höhe h über dem Erdboden schwebt beträgt
-G*M*m/(R+r+h)
Dabei ist G die Gravitationskonstante, M die Masse der Erde und R der Radius der Erde.
Läßt man die Kugel los, dann setz sie sich in Richtung erde in Bewegung, während die Erde auf sie zu kommt. Beim Aufschlag beträgt die Potentielle Energie
-G*M*m/(R+r)
Die Differenz ist nach dem Energieerhaltungssatz die Summe der kinetischen Energien von Kugel und Erde:
M*V²/2 + m*v²/2 = G*M*m*[1/(R+r)-1/(R+r+h)]
Da sich der Impuls des Gesamtsystems nicht ändert gilt für die Geschwindigkeit V der Erde
V = v*m/M
Damit erhalten wir für die Geschwindigkeit meim Aufprall
v = sqrt{2*G*M*m*[1/(R+r)-1/(R+r+h)]/[m*(m/M+1)]}
Wenn man das integriert und nach der Zeit umstellt, kann man sogar die Zeit bis zum Aufschlag ausrechnen:
t = {sqrt[(R+h)³]*arctan[sqrt((R+h)/(R+r)-1)]-sqrt[(R+h)(R+r)(2R+h+r)]}/sqrt[2*G*(m+M)]
Das ist natürlich auch nur eine Näherung. Beispielsweise habe ich vereinfachend angenommen, daß die Masse der Erde kugelsymmetrisch verteilt ist und daß außer Erde und Kugel keine anderen Körper im Spiel sind.
Der genaue Breitengrad, schließlich ist die Gravitation auf
den Polen etwas höher als am Äquator
warum das?
müßte sie nicht am Äquator größer sein, weil dort der Radius der Erde größer als an den Polen (wegen der Rotation)
STK
HAllo
Der genaue Breitengrad, schließlich ist die Gravitation auf
den Polen etwas höher als am Äquatorwarum das?
müßte sie nicht am Äquator größer sein, weil dort der Radius
der Erde größer als an den Polen (wegen der Rotation)
genau deswegen ist die Gravitation kleiner, weil der Abstand vom Erdmittelpunkt größer ist. Denn wegen der hohen Dichte des Erdkerns ist der Abstand vom Kern entscheident für die Anziehung und kann durch das Mehr an (leichter) Masse durch den größeren Radius nicht ausgeglichen werden.
Gruß
Oliver
Hast Du nicht noch was besseres auf Lager?
Das Verhältniss von Oberfläche zu Masse
Der genaue Breitengrad, schließlich ist die Gravitation auf
den Polen etwas höher als am Äquator
Der Luftdruck
Die Luftfeuchtigkeit
Geschwindigkeit der Luftbewegung (wir wollen uns schließlich
nicht auf Laborbedingungen beschränken)
Temperatur (schließlich ist die Dichte eine Funktion der
Temperatur)
Reibungskoefizient (die Kugel erwärmt sich beim Fallen)
Elastizitätsmodul der Luft (ist u.A. eine Funktion der
Temperatur, der Dichte, der Feuchtigkeit)
Hallo Gandalf,
bei Berücksichtigung der genannten Faktoren erhältst Du immer noch nur eine grobe Schätzung
Farbe und Emissionsfaktor der Gegenstände im freien Fall sowie die Uhrzeit des Versuchs spielen die alles entscheidenden Rollen *g*. Aus der Uhrzeit ergibt sich der Sonnenstand und damit die Aufheizung der Gegenstände (sofern man Jahreszeit und Witterung berücksichtigt), falls es sich um physikalisch Schwarze Körper handeln sollte. Falls nicht, muß eben eingerechnet werden, wieviel der einfallenden Strahlung zur Temperaturerhöhung beiträgt und welcher Anteil reflektiert wird.
Die Farbe und deren Einfluß auf den freien Fall war übrigens Gegenstand einer der Prüfungsfragen, die mir mein zukünftiger Lehrherr vor 36 Jahren stellte, bevor er den Lehrvertrag unterschrieb.
Gruß
Wolfgang
Hallo Gandalf,
Das Verhältniss von Oberfläche zu Masse
Der genaue Breitengrad, schließlich ist die Gravitation auf
den Polen etwas höher als am Äquator
dat stimmt nicht. Unsere Erde sieht gravitationsmäßig aus wie eine Kartoffel mit dem Zentrum in Ceylon:
http://op.gfz-potsdam.de/index_GRAM.html
Frank
Noch ne kleine Herleitung…
Die Lage-Energie wird in Bewegungsenergie umgewandelt:
Die Lage-Energie ist Kraft mal Weg, also Gewichtskraft mal Höhe, also Masse*Gravikonst*Höhe, und das ist gleich 0.5*Masse*v^2.
Diese Gleichung nach v auflösen.
Gruß,
Moriarty
genau deswegen ist die Gravitation kleiner, weil der Abstand
vom Erdmittelpunkt größer ist. Denn wegen der hohen Dichte des
ok, mein (denk)fehler
aber wenn ich direkt am kern(punkt) bin, bin ich schwerelos
Gruß
Oliver
STK