Hallo,
ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe:
Ein Körper passiert beim Fallen aus der Ruhe die Marken h1 und h2, die 1,8m auseinander liegen. Der Geschwindigkeitsunterschied beträgt 2 m/s. Berechnen Sie h1 und h2.
So weit ich weiß, gelten hier die Gesetze des freien Falls und somit die Formeln: s_y=g/2*t^2 und v_0=g*t
Nur weiß ich jetzt nicht, wie man h1 und h2 berechnen kann.
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
Vielen Dank im Voraus
Valentin
Hossa 
Ein Körper passiert beim Fallen aus der Ruhe die Marken h1
und h2, die 1,8m auseinander liegen. Der Geschwindigkeitsunterschied
beträgt 2 m/s. Berechnen Sie h1 und h2.
Die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers ist Null („aus der Ruhe“). Auf ihn wirkt die Erdbeschleunigung g. Also kannst du das Weg-Zeit-Gesetz ohne Anfangsgeschwindigkeit verwenden. Zum Zeitpunkt t1 sei der Körper bei der Marke h1 und zum Zeitpunkt t2 sei er bei der Marke h2:
h_1=\frac{1}{2},g,t_1^2\quad;\quad h_2=\frac{1}{2},g,t_2^2
In beiden Gleichungen kann man jeweils rechts und links vom Gleichheitszeichen mit g multiplzieren:
h_1g=\frac{1}{2},g^2,t_1^2\quad;\quad h_2g=\frac{1}{2},g^2,t_2^2
Wegen v=g*t ist die Geschwindigkeit bei der Marke h1 gleich v1=g*t1 und für die Geschwindigkeit bei der Marke h2 ist gleich v2=g*t2. Die Quadrate davon kann man in die Gleichung von eben einsetzen:
h_1g=\frac{1}{2},v_1^2\quad;\quad h_2g=\frac{1}{2},v_2^2
Jetzt kann man die rechte Gleichung von der linken Gleichung subtrahieren:
h_2g-h_1g=\frac{1}{2},v_2^2-\frac{1}{2},v_1^2
und links noch g ausklammern und beide Seiten der Gleichung mit 2 multiplizieren:
2g(h_2-h_1)=v_2^2-v_1^2
Der Abstand der beiden Marken beträgt 1.8m und der Geschwindigkeitsunterschied beträgt 2m/s. Das heißt:
h_2-h_1=1.8,\mbox{m}\quad;\quad v_2=v_1+2,\mbox{m/s}
Beides wird in die obige Gleichung eingebaut:
2g\cdot1.8,\mbox{m}=\left(v_1+2,\mbox{m/s}\right)^2-v_1^2
Der Rest ist einfach:
Viele Grüße
Hasenfuß
Danke für deine Hilfe. Ich habe es jetzt raus und zwar habe ich als Lösung für h_1=7.829 m/s und für h_2=9.829 m/s raus.
Gruß
Valentin
Hallo,
Danke für deine Hilfe. Ich habe es jetzt raus und zwar habe
ich als Lösung für h_1=7.829 m/s und für h_2=9.829 m/s raus.
da sollte schon auf den ersten Blick auffallen, dass die
Höhe nicht die Einheit von einer Geschwindigkeit haben kann.
Gruß Uwi
Hallo Uwe,
das ist mir auch schon aufgefallen, ich hatte bisher nur keine Zeit, um zu antworten.
Es sollten natürlich nur die Ergebnisse für v_1 und v_2.
Meine Rechnung und meine Lösung habe ich hochgeladen:
Könnt ihr mir sagen, ob das so korrekt ist? (beim ersten habe ich unten auf dem blatt einmal die maßeinheiten vergessen)
Hallo Valentin99
Ja, stimmt alles!!!
Schön, dass du nach dem Ansatz die Rechnung alleine hingekriegt hast…
Hier nochmal für dich zur Sicherheit die Berechnungen… Bis zu
2g\cdot1.8,\mbox{m}=\left(v_1^2+2,\mbox{m/s}\right)^2-v_1^2
waren wir ja bereits gekommen. Die musst du nur noch nach v1 auflösen. Dazu wendest du auf der rechten Seite die erste binomische Formel an, (a+b)²=a²+2ab+b², und erhälst:
2g\cdot1.8,\mbox{m}=v_1^2+2\cdot v_1\cdot2,\mbox{m/s}+\left(2,\mbox{m/s}\right)^2-v_1^2
Links kann man nun g=9.81m/s² einsetzen und rechts noch vereinfachen:
2\cdot9.81,\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\cdot1.8,\mbox{m}=v_1\cdot4,\mbox{m/s}+4,\mbox{m}^2/\mbox{s}^2
35.316,\mbox{m}^2/\mbox{s}^2=v_1\cdot4,\mbox{m/s}+4,\mbox{m}^2/\mbox{s}^2\quad\left|,-4,\mbox{m}^2/\mbox{s}^2\right.
31.316,\mbox{m}^2/\mbox{s}^2=v_1\cdot4,\mbox{m/s}\quad\left|,:4,\mbox{m/s}\right.
v_1=7.829,\mbox{m/s}
Das v2 um 2m/s größer ist gilt also:
v_1=7.829,\mbox{m/s}\quad;\quad v_2=9.829,\mbox{m/s}
Das ist genau dein Ergebnis. Zur Berechnung der Marken h1 und h2 benötigst du die Zeiten t1 und t2:
v_1=gt_1\Rightarrow t_1=\frac{v_1}{g}=\frac{7.829,\mbox{m/s}}{9.81,\mbox{m/s}}\approx0.7981,\mbox{s}
v_2=gt_2\Rightarrow t_2=\frac{v_2}{g}=\frac{9.829,\mbox{m/s}}{9.81,\mbox{m/s}}\approx1.002,\mbox{s}
Auch das stimmt mit deinen Ergebnissen überein Weiter gehts mit dem Weg-Zeit-Gesetz:
h_1=\frac{1}{2}gt_1^2=\frac{1}{2}\cdot9.81,\mbox{m/s}^2\cdot0.7981^2,\mbox{s}^2\approx3.12,\mbox{m}
h_2=\frac{1}{2}gt_2^2=\frac{1}{2}\cdot9.81,\mbox{m/s}^2\cdot1.002^2,\mbox{s}^2\approx4.92,\mbox{m}
Auch das stimmt mit deinen Ergebnissen überein. Als weiter Probe hast du sogar noch, dass 4.92m minus 3.12m wieder die 1.8m Differenz aus der Aufgabenstellung ergibt.
Viele Grüße
Hasenfuß
Hey, danke für deine Antwort und deine Mühe. Mir ist eben noch aufgefallen, dass ich meine Fehler noch nicht entfernt habe (vom ersten Blatt). Das ist mir danach noch aufgefallen.
Also:
2*g*h=2*v*2 m/s+(2 m/s)^2 |:2
Danach ist es auf dem Blatt nicht mehr richtig.
Nach 2*g*h=2*v*2 m/s+(2 m/s)^2 |:2
sollte es so weitergehen:
g*h=v+(2 m/s)^2 |-(2 m/s)^2
gh-(2 m/s)^2=2v |:2
v=(gh-2)/2
Gruß
Valentin
Hallo,
Ein Körper passiert beim Fallen aus der Ruhe die Marken h1 und h2,
die 1,8m auseinander liegen. Der Geschwindigkeitsunterschied
beträgt 2 m/s. Berechnen Sie h1 und h2.
ja, und was liegt dann näher, als einfach mal den Quotienten Δs/Δv zu bilden? Aus Dimensionsgründen ist klar, dass das eine Zeit ist (hier 1.8 m/(2 m/s) = 0.9 s), und sicher hat sie auch eine bestimmte physikalische Bedeutung. Die spannende Frage ist natürlich: Welche? Die Antwort rechnen wir aus:
\frac{\Delta s}{\Delta v}
= \frac{s_2 - s_1}{v_2 - v_1}
= \frac{\frac{1}{2} g t_2^2 - \frac{1}{2} g t_1^2}{g t_2 - g t_1}
= \frac{1}{2}:\frac{t_2^2 - t_1^2}{t_2 - t_1}
= \frac{1}{2}:\big(t_1 + t_2\big)
= \bar{t}
Und schau da, das Ergebnis ist hochinteressant: Δs/Δv ist der arithmetische Mittelwert \bar{t} der beiden Zeiten t1 und t2, zu denen der Körper die beiden Marken an den Positionen s1 und s2 passiert.
Außerdem wissen wir aber auch, wie groß die Differenz t2 – t1 dieser beiden Zeitpunkte ist:
\Delta t = \frac{\Delta v}{g}
Das ist unmittelbar klar, weil v beim freien Fall linear mit t wächst (wer will kann sich den ausführlichen Beweis selbst überlegen).
Wenn wir aber sowohl \bar{t} als auch \Delta t kennen, dann kennen wir auch t1 und t2:
t_{1,2}
= \bar{t} \pm \frac{1}{2}\Delta t
= \frac{\Delta s}{\Delta v} \pm \frac{1}{2}\frac{\Delta v}{g}
Und damit brauchen wir die gesuchten Positionen der Marken nur noch hinzuschreiben:
s_{1,2}
= \frac{1}{2}:g:
t_{1,2}^2
= \frac{1}{2}:g:
\Big(\frac{\Delta s}{\Delta v} \pm \frac{1}{2}\frac{\Delta v}{g}\Big)^2
Gruß
Martin
Hallo Martin,
ich danke dir für deine ausführliche Erklärung!
Beste Grüße
Valentin