Hallo, ich hab mal eine Frage.
Eine Stahlkugel wird von 100 m Hohe fallen gelassen.
Luftwiderrstand wird vernachlässigt. Die Augenblickliche höhe h der Kugel über dem Erdboden wird durch folgende quadratische Gleichung beschrieben
h(t)= 100 - 1/2 * 9,81t^2
Woher kommt das 1/2 in der Gleichung?
Danke
Hallo Bau_student,
h(t)= 100 - 1/2 * 9,81t^2
Woher kommt das 1/2 in der Gleichung?
Bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung nimmt (definitionsgemäß) die Geschwindigkeit linear zu:
v(t) = v(0) + a * t
Der Weg berechnet sich jedoch zu
s(t) = s(0) + v(0)*t + 1/2 a * t^2
Der Faktor 1/2 im quadratischen Term mit der Beschleunigung kommt daher, daß zwischen der Zeit 0 und der Zeit t die Geschwindigkeit auch erst zunimmt.
Ich weiß nicht, welches Vorwissen Du hast, aber in der Theorie muß man die Geschwindigkeit aufintegrieren, um zum Weg zu gelangen,
s(t) = s(0) + int{von 0 bis t} v(t’) dt’,
und
int x dx = 1/2 * x^2
Du kannst Dir das Integral bildlich vorstellen, indem man immer nur sehr kurze Zeitintervalle betrachtet, in denen die Geschwindigkeit „in erster Näherung“ konstant bleibt. Dann kann man immer die bei der aktuellen Geschwindigkeit zurückgelegte Wegstrecke ausrechnen:
s(t[n+1]) =~ s(t[n]) + (t[n+1]-t[n]) * v(t[n])
Wenn v(0) = 0 und s(0) = 0, dann hat man v(t) = a*t und die Zwischenzeiten dt, 2 dt, 3 dt, …, T:
s(T) = dt*a*dt + dt*a*(2 dt) + dt*a*(3 dt) + … + dt*a*T
also so etwas wie 1 + 2 + 3 + … + N, was (in einem Diagramm dargestellt) einer Dreiecksfläche ähnelt. Und die Fläche dieses Dreiecks ist 1/2 Grundfläche x Höhe, was genau zu der Formel 1/2 * a *t^2 führt.
Ich hoffe, daß ich damit weiterhelfen konnte, und daß ich Deinen Wissenstand nicht völlig falsch eingeschätzt habe. (Es ist meist hilfreich, wenn man das kurz angibt.)
Schöne Grüße,
Manfred
Hallo Baustudent,
Im freien Fall wird die Kugel von der Geschwindigkeit 0 (zum Zeitpunkt t = 0) bis zum Aufschlag stetig beschleunigt:
v(t) = g * t (Gl. (1) (g = 9,81 m/s^2
Der bis zur Zeit t zurückgelegte Weg s entspricht dem Integral aus Gl. (1), also
s = Int(v(t) * dt ) = Int(g*t*dt) = 1/2 g*t^2 Gl. (2)
Der Faktor 1/2 ergibt sich also aus der Anwendung der Integrationsregeln auf Gl. (1)
Hoffe das hilft dir weiter
Gruß
Albrecht
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (wie z.B. dem freien Fall) nimmt die Geschwindigkeit linear zu.
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz lautet
v(t) = a•t
wobei a die Beschleunigung ist. Der Graph von v ist eine Ursprungsgerade. Um z.B. den im Intervall [0;t] zurückgelegten Weg s(t) zu ermitteln, muss man v integrieren, also (anschaulich) die „Fläche“ unter dem Graphen berechnen.
Diese Fläche ist aber ein Dreieck mit den „Grundseite“ t und „Höhe“ v(t) = at.
Damit erhalten wir
s(t) = ½ t at = ½ at²
Viel Spaß mit der Lösung, Gruß J. Huber