Für welches X ist die Funktion größer/kleiner Null

Stephan_8a4919 · 31. Juli 2003 um 04:17

Hallo zusammen,

kann mir mal jemand verraten, wie man an so Aufgaben herangeht, in denen man zeigen muss für welche X die Funktion größer/kleiner Null ist?
Ich gehöre leider nicht zu den Leuten, die das auf Anhieb sehen und stehe oft recht hilflos da.

Für welchen X-Bereich ist z.B. folgende Funktion größer Null:

t´(X) = -100 x X(hoch -1,5) + 20000 x X(hoch -2)

Wie geht man da dran? Oder können das einige Experten hier sofort erkennen? *solchemenschenbeneidentu*

Danke für Eure Hilfe.

MfG
Stephan

Mortes_Porta_Vitae_9d0972 · 31. Juli 2003 um 07:04

Hallo zusammen,

Hallo Stephan,

kann mir mal jemand verraten, wie man an so Aufgaben
herangeht, in denen man zeigen muss für welche X die Funktion
größer/kleiner Null ist?

Du musst die Funktion in die nomierte Form bringen. x²+px+q=0 dann mit x(1,2) = - p/2 [±] (sqr(p/2)²-q)

x (hoch -1) = x/1

Ich gehöre leider nicht zu den Leuten, die das auf Anhieb
sehen und stehe oft recht hilflos da.

Für welchen X-Bereich ist z.B. folgende Funktion größer Null:

t´(X) = -100 x X(hoch -1,5) + 20000 x X(hoch -2)

Wie geht man da dran? Oder können das einige Experten hier
sofort erkennen? *solchemenschenbeneidentu*

Ne kleine Geschichte dazu…

Mein ehemaliger griechischer Matheprof gab uns mal eine Aufgabe. Alle grübelten und errechneten für die dritte Ableitung das Ergebnis. Alle bis auf eine Komolitonin. Die meinte etwas Anderes rauszuhaben. Als Sie Ihr Ergebnis dem Professor sagte, schaue er Sie an und innerhalb von ZWEI SEKUNDEN meinte Er: „Dann haben Sie in der ersten Ableitung statt 5,25 4,67 in den Taschenrechner eingetippt.“ (so in etwa, also kein Standardvertipper oder Zahlendreher)

Nach einer viertel Stunde hatten dann Einige das so berechnet und es stimmte exakt.

Alles Gute

olli

Ingo_von_Borstel · 31. Juli 2003 um 10:12

Moin,

>> kann mir mal jemand verraten, wie man an so Aufgaben
>> herangeht, in denen man zeigen muss für welche X die Funktion
>> größer/kleiner Null ist?

> Du musst die Funktion in die nomierte Form bringen. x²+px+q=0
> dann mit x(1,2) = - p/2 [±] (sqr(p/2)²-q)

Hier nicht angebracht.

> x (hoch -1) = x/1

Nein!
x^(-1) = 1/x

>> Ich gehöre leider nicht zu den Leuten, die das auf Anhieb
>> sehen und stehe oft recht hilflos da.

>> Für welchen X-Bereich ist z.B. folgende Funktion größer Null:
>> t´(X) = -100 x X(hoch -1,5) + 20000 x X(hoch -2)

Von reellen Zahlen ausgehend (sonst macht Vorzeichenbetrachtung weniger Sinn), schreibt sich die Formel um zu:

-100 / (x^(3/2)) + 20000 / x^2 = t’(x) bzw. für Nullstellen = 0

x^2 ist stets positiv, es darf also damit multipliziert werden ohne Vorzeichen zu verändern:

–> -100 sqrt(x) + 20000 = 0 sqrt(x) = -200, also keine (reellen) Nullstellen bzw. für alle x >= 0: t’(x) > 0, weil sqrt(x) + 200 > 0, für x

Enno_Sandner_66c4aa · 31. Juli 2003 um 10:34

Hallo,

–> -100 sqrt(x) + 20000 = 0 sqrt(x) = -200

für mich ergibt sich sqrt(x)=200 also x=40000 bzw. t’(X)40000 und t’(X)>0 für X

schmackes · 31. Juli 2003 um 11:24

Hallo Stephan,

an so eine Aufgabe geht man so ran.
Zuerst guckt man, ob die Funktion an irgendeiner Stelle Null wird.
Also ob 0 = -100 x X(hoch -1,5) + 20000 x X(hoch -2) für irgendein X gilt.
Das haben wir unten schon gemacht, das Ergebnis ist 40000.
Dann berechnet man die Funktion für eine Zahl die größer als 40000 ist und für eine Zahl die kleiner ist als 40000.
also z.B. t´(1) = -100 x 1(hoch -1,5) + 20000 x 1(hoch -2) = 19900
und t´(100000) = -100 x 100000(hoch -1,5) + 20000 x 100000(hoch -2) = -0,00000116

Also ist t´(X) > 0 für X 40000

Herzliche Grüße,

Max

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Anonym · 31. Juli 2003 um 11:48

Moin,

kann mir mal jemand verraten, wie man an so Aufgaben
herangeht, in denen man zeigen muss für welche X die Funktion
größer/kleiner Null ist?

Du musst die Funktion in die nomierte Form bringen. x²+px+q=0
dann mit x(1,2) = - p/2 [±] (sqr(p/2)²-q)

Hier nicht angebracht.

In der Tat.

x (hoch -1) = x/1

Nein!
x^(-1) = 1/x

Richtig.

Ich gehöre leider nicht zu den Leuten, die das auf Anhieb
sehen und stehe oft recht hilflos da.

Für welchen X-Bereich ist z.B. folgende Funktion größer Null:
t´(X) = -100 x X(hoch -1,5) + 20000 x X(hoch -2)

Von reellen Zahlen ausgehend (sonst macht
Vorzeichenbetrachtung weniger Sinn), schreibt sich die Formel
um zu:

-100 / (x^(3/2)) + 20000 / x^2 = t’(x) bzw. für Nullstellen =
0

x^2 ist stets positiv,

Soso… ob die Null nun positiv ist oder nicht, darueber streiten die Mathematiker noch.

es darf also damit multipliziert werden
ohne Vorzeichen zu verändern:

Falsch.

–> -100 sqrt(x) + 20000 = 0 sqrt(x) = -200, also
keine (reellen) Nullstellen bzw. für alle x >= 0: t’(x)
> 0, weil sqrt(x) + 200 > 0, für x

-100 x^-1.5+20000 x^-2=0
=-100/x^1.5+20000/x²
=-100/(sqrt(x) x)+20000/(sqrt(x) x sqrt(x))
=1/(sqrt(x) x) (-100+20000/sqrt(x)=0
(Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist:smile:

1/(sqrt(x) x)=0 -> x=+/- inf (gut, in dem Fall nicht wirklich interessant)
-100+20000/sqrt(x)=0
20000/sqrt(x)=100
sqrt(x)/20000=1/100
sqrt(x)=20000/100=200 -> x=200²
Jetzt wissen wir, wo was passiert, aber noch nicht was. Ist es unterhalb von 200² positiv oder negativ? Ich wuerde es durch Probieren (Einsetzen) mit einer Zahl kurz darunter rausfinden und einer kurz darueber (muss ja kein wirklicher Nulldurchgang sein).

_t(200²-100) > 0
t(200²+100)

War doch nicht so schwer.
HTH,
Gruss vom Zentrum._

Jo1_a88223 · 31. Juli 2003 um 12:24

Dann berechnet man die Funktion für eine Zahl die größer als
40000 ist und für eine Zahl die kleiner ist als 40000.
also z.B. t´(1) = -100 x 1(hoch -1,5) + 20000 x 1(hoch -2) =
19900
und t´(100000) = -100 x 100000(hoch -1,5) + 20000 x
100000(hoch -2) = -0,00000116

Alternativ kann man auch die Ableitung an der Nullstelle berechnen. Ist sie Null, mußt du entweder mit der 2. Ableitung weiterprüfen oder trotzdem ausprobieren. Ist sie >0, ist die Funktion links von der Nullstelle negativ und rechts davon positiv und ist sie

Mortes_Porta_Vitae_9d0972 · 31. Juli 2003 um 12:57

uuupppss fipptehler
Stuchbaben wervechselt

olli

schmackes · 31. Juli 2003 um 13:18

Alternativ kann man auch die Ableitung an der Nullstelle
berechnen. Ist sie Null, mußt du entweder mit der 2. Ableitung
weiterprüfen oder trotzdem ausprobieren. Ist sie >0, ist
die Funktion links von der Nullstelle negativ und rechts davon
positiv und ist sie

Stephan_8a4919 · 31. Juli 2003 um 16:52

Hallo zusammen,

erstmal danke an alle, die sich mit dieser Frage beschäftigt haben. Mittlerweile habe ich kapiert, wie ich vorgehen muss. Wichtigste Erkenntnis für mich war, dass ich die Funktion gleich Null setzen muss.

t´(X) = -100 x X(hoch -1,5) + 20000 x X(hoch -2)

0 = -100 x X(hoch -1,5) + 20000 x X(hoch -2)

20000 x X(hoch -2) = 100 x X(hoch -1,5)

200 x X(hoch -2) = X(hoch -1,5)

200 = X (hoch 0,5)

X = 40000

Ob es wirklich nicht schwer war? Naja, es geht so. Wie schon gesagt bin ich nicht der Mensch, der den einfachsten Weg erkennt. Nach ein paar sinnlosen Umformungen bin ich aber dennoch auf die Lösung gekommen.

Wer von Euch hat denn, ohne umformen zu müssen, erkannt das X = 40000 sein muss? Hut ab vor solchen Leuten!

Habe auch mal ne coole Sache mitbekommen:
Zusammen mit Kommilitonen in der Unibuchhandlung, meinte einer: „boah ist das Buch teuer; 49,80 DM für nur 250 Seiten.“ Daraufhin meinte ein Kommilitone: „Exakt 0,1992 Pfennig pro Seite.“ Wir guckten uns alle ziemlich blöd an. Es stimmte (haben wir dann mit dem Taschenrechner kurzerhand geprüft). Keine Ahnung, wie der das gemacht hat. Aber dennoch Hochachtung vor solchen Fähigkeiten.

Bei mir hat es im Abi in der mündl. Nachprüfung nur für einen (!!!) Punkt gereicht. Wie gut, dass Mathematik nicht alles im Leben ist.

MfG
Stephan

Anonym · 31. Juli 2003 um 18:39

Hallo zusammen,

Wer von Euch hat denn, ohne umformen zu müssen, erkannt das X
= 40000 sein muss? Hut ab vor solchen Leuten!

Naja … nein.

Habe auch mal ne coole Sache mitbekommen:
Zusammen mit Kommilitonen in der Unibuchhandlung, meinte
einer: „boah ist das Buch teuer; 49,80 DM für nur 250 Seiten.“
Daraufhin meinte ein Kommilitone: "Exakt 0,1992 Pfennig pro

0.1992 DM

Seite." Wir guckten uns alle ziemlich blöd an. Es stimmte
(haben wir dann mit dem Taschenrechner kurzerhand geprüft).
Keine Ahnung, wie der das gemacht hat. Aber dennoch
Hochachtung vor solchen Fähigkeiten.

Eigentlich ganz einfach: 4980/250= (5000-20)/250= 5000/250-20/250= 100/5-80/1000= 20-0.08=19.92. Kann man mit der richtigen Methode auch im Kopf hinkriegen.

Bei mir hat es im Abi in der mündl. Nachprüfung nur für einen
(!!!) Punkt gereicht. Wie gut, dass Mathematik nicht alles im
Leben ist.

Hm, drei Punkte.

MfG
Stephan

Gruss vom Zentrum.

Ingo_von_Borstel · 31. Juli 2003 um 23:15

hast teilweise Recht.
Moin zum zweiten,

kann mir mal jemand verraten, wie man an so Aufgaben
herangeht, in denen man zeigen muss für welche X die Funktion
größer/kleiner Null ist?

Du musst die Funktion in die nomierte Form bringen. x²+px+q=0
dann mit x(1,2) = - p/2 [±] (sqr(p/2)²-q)

Hier nicht angebracht.

In der Tat.

x (hoch -1) = x/1

Nein!
x^(-1) = 1/x

Richtig.

Ich gehöre leider nicht zu den Leuten, die das auf Anhieb
sehen und stehe oft recht hilflos da.

Für welchen X-Bereich ist z.B. folgende Funktion größer Null:
t´(X) = -100 x X(hoch -1,5) + 20000 x X(hoch -2)

Von reellen Zahlen ausgehend (sonst macht
Vorzeichenbetrachtung weniger Sinn), schreibt sich die Formel
um zu:

-100 / (x^(3/2)) + 20000 / x^2 = t’(x) bzw. für Nullstellen =
0

x^2 ist stets positiv,

Soso… ob die Null nun positiv ist oder nicht, darueber
streiten die Mathematiker noch.

Wohl wahr.

es darf also damit multipliziert werden
ohne Vorzeichen zu verändern:

Falsch.

Nein. Mit darf ich natürlich nicht mit Null multiplizieren. Wohl wahr. Aber: x^2 0 für x 0. Und x=0 ist in der Definitionsmenge der Ausgangsgleichung schon ausgeschlossen. Insofern ist die Multiplikation mit x^2 hier durchaus statthaft.

–> -100 sqrt(x) + 20000 = 0 sqrt(x) = -200, also
keine (reellen) Nullstellen bzw. für alle x >= 0: t’(x)
> 0, weil sqrt(x) + 200 > 0, für x x = 40000

wie Du auch ausführtest, nur unnötig kompliziert. Trotzdem hast Du recht, man weiß noch nicht, was links und rechts stattfindet, insofern muß man nochmal kurz durch Einsetzen prüfen - oder die nächsten zwei Ableitungen bilden, was hier aber auch nicht schneller ist.

Gruß,
Ingo

Ich schreib mal:

-100 x^-1.5+20000 x^-2=0
=-100/x^1.5+20000/x²
=-100/(sqrt(x) x)+20000/(sqrt(x) x sqrt(x))
=1/(sqrt(x) x) (-100+20000/sqrt(x)=0

Ich sehe nicht wie diese Zeile zu der vorhergehenden äquvalent ist. Klärst Du mich bitte auf? Oder ist sie schreibfehler und somit so geschrieben blödsinnig? M.E. muß es heißen:
1/sqrt(x) - 20000/(100x) = 0 wenn Du mit x multiplizierst und durch 100 dividierst (aber dann bleibt das Vorzeichen nicht erhalten und Null ist auch wieder dabei). Und aus einer Summe bekommt man nie ein Produkt gebacken, wenn Du nicht exponenzierst.

(Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist:smile:

Wozu ist das nötig? Wir haben eine Summe. Da hilft das gar nicht. Auch die Betrachtung eines Summanden ist nicht hilfreich. Höchstens die Betrachtung von x^3/2 alleine, um die Multiplikation damit zu rechtfertigen, aber siehe Bemerkung zur Definitionsmenge oben.

1/(sqrt(x) x)=0 -> x=+/- inf (gut, in dem
Fall nicht wirklich interessant)

1/x^a = 0 für (a>0) und x->inf gilt allgemein. (NB: Allerdings nur für a>2 eine konvergente Reihe.)

-100+20000/sqrt(x)=0

Das ist jetzt wieder richtig.

20000/sqrt(x)=100

okay, Du multiplizierst also nicht mit x^2 sondern mit x^3/2… kein wirklicher Unterschied zu mir.

sqrt(x)/20000=1/100
sqrt(x)=20000/100=200 -> x=200²

Jetzt wissen wir, wo was passiert, aber noch nicht was.
Ist es unterhalb von 200² positiv oder negativ?
Ich wuerde es durch Probieren (Einsetzen) mit einer Zahl kurz
darunter rausfinden und einer kurz darueber (muss ja
kein wirklicher Nulldurchgang sein).

Wohl wahr.

t(200²-100) > 0
t(200²+100)

right.

War doch nicht so schwer.

Eigentlich nicht. Hat aber, wie Du und ich sehen, auch seine Tücken.

Gruß,
Ingo

*der die nächsten zwei Wochen jetzt nicht antworten kann.*

Anonym · 1. August 2003 um 01:46

es darf also damit multipliziert werden
ohne Vorzeichen zu verändern:

Falsch.

Nein. Mit darf ich natürlich nicht mit Null multiplizieren.
Wohl wahr. Aber: x^2 0 für x 0. Und x=0 ist
in der Definitionsmenge der Ausgangsgleichung schon
ausgeschlossen. Insofern ist die Multiplikation mit x^2 hier
durchaus statthaft.

Hm, okay. Koennte man als Argument gelten lassen. Aber ich multipliziere nie mit Unbekannten.

Noch mehr falsch.

Ja und nein. Ich übersah das Vorzeichen der „-100“. insofern
folgt für die Gleichung nach Multiplikation mit x^2

sqrt(x) = 200 --> x = 40000

wie Du auch ausführtest, nur unnötig kompliziert. Trotzdem
hast Du recht, man weiß noch nicht, was links und rechts
stattfindet, insofern muß man nochmal kurz durch Einsetzen
prüfen - oder die nächsten zwei Ableitungen bilden, was hier
aber auch nicht schneller ist.

Die Art und Weise, wie die Frage gestellt wurde liess mich von Ableitungen absehen .

Ich schreib mal:

-100 x^-1.5+20000 x^-2=0
=-100/x^1.5+20000/x²
=-100/(sqrt(x) x)+20000/(sqrt(x) x sqrt(x))
=1/(sqrt(x) x) (-100+20000/sqrt(x)=0

Ich sehe nicht wie diese Zeile zu der vorhergehenden äquvalent
ist. Klärst Du mich bitte auf?

Klar: ich habe 1/(sqrt(x) x) ausgeklammert (und die schliessende Klammer vergessen).

Oder ist sie schreibfehler und
somit so geschrieben blödsinnig? M.E. muß es heißen:
1/sqrt(x) - 20000/(100x) = 0 wenn Du mit x multiplizierst

Ich multipliziere nicht mit Unbekannten. Hat Seiteneffekte.

und
durch 100 dividierst (aber dann bleibt das Vorzeichen nicht
erhalten und Null ist auch wieder dabei). Und aus einer Summe
bekommt man nie ein Produkt gebacken, wenn Du nicht
exponenzierst.

(Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist:smile:

Wozu ist das nötig? Wir haben eine Summe.

Nein, ein Produkt: a=1/(sqrt(x) x), b=-100+20000/sqrt(x), a*b=0

1/(sqrt(x) x)=0 -> x=+/- inf (gut, in dem
Fall nicht wirklich interessant)

1/x^a = 0 für (a>0) und x->inf gilt allgemein. (NB:
Allerdings nur für a>2 eine konvergente Reihe.)

Ich versteh nicht ganz. Versuchst Du, mir gerade das +/- auszureden? Wenn ja: vergiss es, daran halte ich fest.

-100+20000/sqrt(x)=0

Das ist jetzt wieder richtig.

20000/sqrt(x)=100

okay, Du multiplizierst also nicht mit x^2 sondern mit
x^3/2… kein wirklicher Unterschied zu mir.

Ich multiplizier nicht mit Un… ich wiederhole mich. Ich hab +100 gerechnet. Im naechsten Schritt habe ich den Kehrwert von beiden Seiten der Gleichung gebildet (im Gegesatz zum multiplizieren ist das naemlich erlaubt).

sqrt(x)/20000=1/100
sqrt(x)=20000/100=200 -> x=200²
t(200²-100) > 0
t(200²+100)