Hallo zusammen
Sitze gerade an einer Aufgabe und verstehe den ersten Schritt nicht:
Der Graph einer ganrationalen Funktion fünften Grades ist punktsymmetrisch und hat im Punkt P(1|8) einen Sattelpunkt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
Wie lautet denn die Funktion hier? Wie viele Variablen kommen bei einer Funktion den 5. Grades vor? Und wie würde die Funktion lauten wenn es des 4. und 3. Grades ist? Gibt es auch Funktionen des 6. Grades?
Danke, hoffe mir kann jemand helfen
Gruß
Hey Kingpin,
klar gibt es Funktionen 6. Grades.
Das Bauprinzip ist immer das gleiche:
Funktion n-ten Grades:
f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x^1 + a_0
wobei a_i \in \mathbb{R}
Wenn du jetzt eine Funktion 5. Grades hast, sieht die Grundfunktion so aus:
f(x) = a_4x^5 + a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x^{1} +a_0
oder mit einfacherer Bezeichnung:
f(x) = ax^5 + bx^{4} + cx^{3} + dx^{2} + ex +f
Also eine Gleichung mit 6 Variablen - aber durch deine Angaben kann man schon einige „wegschmeißen“.
Am besten gehst mal so vor:
-Überleg dir, was für Exponenten eine punktsymmetrische Funktion braucht
-Was muss für einen Sattelpunkt gelten im Bezug auf Ableitungen?
-den Punkt kann man natürlich auch noch einsetzen 
Gruß René
PS: Zu den Ableitungen: Man kann auch allgemein ableiten, also ohne genaue Werte.
Danke danke!! Sehr gut erklärt, so eine Eklärung brauchte ich.
Also bei punktsymmetrischen sind die Exponenten doch immer ungerade oder? müsste die Funktion dann so heißen?
f(x)=ax^5+bx^3+cx ?
Also kann ich da einfach die bx^4, dx^2 und f weglassen?
Wie würde sie denn aber aussehen, wenn sie achsensymmetrisch ist?
Und wie wenn gar nicht drinsteht, ob sie symmetrisch ist, so vlt?
f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
Und damit müsste ich dann rechnen? oder könnte ich das auch irgendwie so kürzer machen?
Ehm joa zum Sattelpunkt weiß ich, dass es ein Wendepunkt mit der Steigung 0 ist.
Dies ist ja sone Steckbriefaufgabe. Müsste also 3 Gleichungen haben oder?
Die erste wäre ja:
P(1|8) -> f(1)=8
Und wie komme ich auf die anderen 2.
Sry für die vielen Fragen 
Danke danke!! Sehr gut erklärt, so eine Eklärung brauchte ich.
Immer wieder gerne
Also bei punktsymmetrischen sind die Exponenten doch immer
ungerade oder? müsste die Funktion dann so heißen?
f(x)=ax^5+bx^3+cx ?
Genau.
(Es gibt allerdings noch Punktsymmetrie zu einem anderen Punkt außer dem Ursprung - aber ich glaub bei so einer Aufgabe ist immer punktsymmetrisch zum Ursprung gemeint)
Also kann ich da einfach die bx^4, dx^2 und f weglassen?
Richtig.
Wie würde sie denn aber aussehen, wenn sie achsensymmetrisch
ist?
Bei Achsensymmetrie hast du nur gerade Exponenten, also:
f(x) = ax^4 + bx^2 + c
Da muss der konstante Teil c also noch mit.
Und wie wenn gar nicht drinsteht, ob sie symmetrisch ist, so
vlt?
f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
Und damit müsste ich dann rechnen? oder könnte ich das auch
irgendwie so kürzer machen?
Nein, da kannst du nichts mehr kürzen machen. Du bräuchtest also 6 Angaben, um diese Gleichung explizit auszurechnen.
Ehm joa zum Sattelpunkt weiß ich, dass es ein Wendepunkt mit
der Steigung 0 ist.
Das wären also 2 Angaben 
Wie zeigst du, ob ein Punkt ein Wendepunkt ist bzw wie berechnest du die Steigung von einem Punkt?
Dies ist ja sone Steckbriefaufgabe. Müsste also 3 Gleichungen
haben oder?
Die erste wäre ja:
P(1|8) -> f(1)=8Und wie komme ich auf die anderen 2.
Einfach noch die Angaben verwerten, dass ein Wendepunkt existiert und du in einem Punkt die Steigung gegeben hast.
Sry für die vielen Fragen
Dafür sind wir hier.
Ich hoffe, es ist noch übersichtlich geblieben (Freundin beschwert sich schon, dass ich nicht so Romane schreiben soll ).
Gruß René
Bei Achsensymmetrie hast du nur gerade Exponenten, also:
f(x) = ax^4 + bx^2 + c
Da muss der konstante Teil c also noch mit.
Ahh da kann man auch ax^5 weglassen??
Und wie wenn gar nicht drinsteht, ob sie symmetrisch ist, so
vlt?
f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
Und damit müsste ich dann rechnen? oder könnte ich das auch
irgendwie so kürzer machen?Nein, da kannst du nichts mehr kürzen machen. Du bräuchtest
also 6 Angaben, um diese Gleichung explizit auszurechnen.
6 Angaben? Also wieder 6 Gleichungen?
Das wären also 2 Angaben
Wendepunkt ist bzw wie berechnest du die Steigung von einem
Punkt?
Wendepunkt: f’’(x)=0
m: f’(x)=0
Und was ist x und y bei denen? Und wenn, wie kommt man darauf?
Ich hoffe, es ist noch übersichtlich geblieben (Freundin
beschwert sich schon, dass ich nicht so Romane schreiben soll
Hehe, je ausführlicher desto besser versteh ichs.
Ahh da kann man auch ax^5 weglassen??
Wenn x^5 mit drin ist, kann es nicht achsensymmetrisch sein
6 Angaben? Also wieder 6 Gleichungen?
Richtig.
Wendepunkt: f’’(x)=0
m: f’(x)=0Und was ist x und y bei denen? Und wenn, wie kommt man darauf?
An welchem Punkt ist deine Steigung denn 0 und wo ist dein Wendepunkt?
Des einzige, was du jetzt noch brauchst, ist die allgemeine Ableitung deines Termes. Und dazu musst du halt alles ableiten - also mit a,b,c usw.
Dann bekommst du deine Ableitung, sowie die zweite Ableitung in Abhängigkeit von a,b und c und kannst dann dort deine Angaben einsetzen.
Also Angaben waren ja:
f(1) = 2 (Punkt gegeben)
f’(1) = 0 (Steigung im Punkt(1|2) ist 0)
f’’(1) = 0 (Punkt (1|2) ist Wendepunkt)
Jetzt müsste es eig klappen, oder?
Gruß Rene
Wenn x^5 mit drin ist, kann es nicht achsensymmetrisch sein
Ah, also Funktionen 5. Grades können allgemein nicht achsensymmetrisch sein?
Also Angaben, waren ja:
f(1) = 2 (Punkt gegeben)
f’(1) = 0 (Steigung im Punkt(1|2) ist 0)
f’’(1) = 0 (Punkt (1|2) ist Wendepunkt)
Ahh. Wendepunkt ist also (1|0) weil die Steigung 0 ist und somit man auf den Graphen nicht höher steigen kann? Also unten bei 0 bleibt? (Auf den Punkt bezogen)
Wenn der Sattelpunkt gegeben ist, kann ich für den Wendepunkt X übernehmen und Y ist gleich 0?
Und, m hat dann die gleichen X und Y Werte wie der Wendepunkt immer?
Jetzt müsste es eig klappen, oder?
Danach müsste es klappen.
Nein.
…hat im Punkt P(1|8) einen Sattelpunkt.
Diese Aussage ist so zu interpretieren:
Sattelpunkt - hast du ja gesagt - ist ein Wendepunkt mit Steigung 0.
Also:
Gruß René
PS: Sry, hatte in dem Post davor den Fehler, dass ich gedacht habe (1|2) wäre der Wendepunkt statt (1|8)
PPS: Ableitungen einer Funktion können nichts über deren genaue Lage aussagen. Sprich: Wenn eine Ableitung 0 ist, kannst du nur Aussagen treffen über Eigenschaften der Funktion - aber nicht durch welche genauen Werte sie geht.
PPPS: Funktionen 5. Grades können nie achsensymmetrisch sein
Sattelpunkt - hast du ja gesagt - ist ein Wendepunkt mit
Steigung 0.
Also:
- Im Punkt (1|8) Steigung 0 --> f’(1) = 0
Und Voraussetzung für Wendepunkt ist auch noch zweite
Ableitung 0, also:- Wendepunkt (1|8) --> f’’(1) = 0
Achhja genau, man benutzt ja hier die Bedingungen f’(x)=0 , da kann man dann ja nur x einsetzen, weil y ja schon gleich 0 ist.
PS: Sry, hatte in dem Post davor den Fehler, dass ich gedacht
habe (1|2) wäre der Wendepunkt statt (1|8)
Jo habe es gemerkt, aber hätte ja auch nichts geändert.
Joaa dann vielen vielen dank Rene! Hast mir echt weitergeholfen!! )