Funktion aus Graphen lesen (Fehler?)

[KingpiN1_2a0b49]

Tach

Die Aufgabe lautet:
Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und bestimmen mithilfe der Angaben in der Skizze die Gleichung der Unterführung!

Habe irgendwie eine komplett falsche Gleichung raus.

Hier einmal die Skizze auf dem Arbeitsblatt:
http://www.bilder-hochladen.net/files/d62n-3-jpg.html

So sieht mein Koordinatensystem aus:
http://www.bilder-hochladen.net/files/d62n-4-jpg.html

und meine Gleichung lautet irgendwie:
f(x) = -0,26x^2 +3,12x +2,86

Ist anscheinend falsch…

Hier meine Rechnung:

1. P1(1|0) -> f(1)=0
2. P2(11|0) -> f(11)=0
3. P3(6|6,5) -> f(6)=6,5

Additionsvefahren mit den 3 Gleichungen:

1. 1a+1b+c=0
2. 121a+11b+c=0
3. 36a+6b+c=6,5

Ja und dann kam ich auf meine Gleichung.

Ist das überhaupt eine quadratische Funktion?
Wenn ja woran erkenn ich das?

Oder ist mein Fehler, dass ich P3 nicht einfach so gleichsetzen kann, weil es eine Extremstelle ist und stattdessen f’(6)=0 machen muss?

Hoffe mir kann jemand helfen…

[Martin]

Habe irgendwie eine komplett falsche Gleichung raus.

f(x) = -0,26x^2 +3,12x +2,86

Maxima sagt dazu…

linsolve([1\*a+1\*b+c=0, 121\*a+11\*b+c=0, 36\*a+6\*b+c=6.5], [a, b, c]);
(%o3) [a=-0.26,b=3.12,c=-2.86]

…und somit ist alles bis auf das Vorzeichen von c (–2.86 statt 2.86) richtig.

1. 1a+1b+c=0
2. 121a+11b+c=0
3. 36a+6b+c=6,5

Genau, so löst man diese Aufgabe.

Ist das überhaupt eine quadratische Funktion?
Wenn ja woran erkenn ich das?

Du guckst Dir den Graphen an, befindest nach seinem Aussehen, dass die Annahme, es handele sich um eine quadratische Parabel, am plausibelsten erscheint (vornehm: „Modellbildung“), und setzt folglich f(x) = a x² + b x + c an.

Oder ist mein Fehler, dass ich P3 nicht einfach so
gleichsetzen kann, weil es eine Extremstelle ist

Nein. Du verwendest in der Lösung nur die Eigenschaft der Punkte P1, P2 und P3, auf der Parabel zu liegen, und das tun sie alle drei. Ob irgendwelche der Punkte darüberhinaus noch irgendwelche speziellen Eigenschaften haben, spielt dafür keine Rolle.

Gruß
Martin

[KingpiN1_2a0b49]

Sehr vielen dank Martin! Zum 2. mal heute hehe, sehr netter Typ!!
Also versteh ich das richtig… das ist eine quadratische Funktion. Also eine Parabel.
Eine Parabel ist ja sone Art Tunneleingang, wenn man sie beschreiben müsste oder?
Sind alle Parabeln quadratische Funktionen?
Eine Funktion 3. Grades hat nur 1 Maximum und 1 Minimum?
Eine Funktion 4. Grades hat 2 Max und 1 Min oder 1 Max und 2 Min?
Und eine Funktion 5. Grades hat 2 Max und 2 Min?

Stimmt das so?
Oder wie erkenne ich am ehesten, um welche Funktion es sich handelt?

[Volker_Malchow]

Hallo KingpiN1,

Du sollst ein geeignetes Koordinatensystem wählen. Hm, grundsätzlich kannst Du natürlich irgendeines wählen, z.B. das von Dir gewählte. Aber in Deinem System hast Du die Pkte nicht korrekt eingetragen, also kannst du kein richtiges Ergebnis bekommen.

Die Formulierung „geeignet“ bedeutet aber, dass Du die Gedanken machen sollst, welches KS die Berechnung vereinfacht. Dies ist hier der Fall, wenn Du die y-Achse durch den Scheitel der Parabel legst.

Versuchs so nochmal!

Gruß Volker

[KingpiN1_2a0b49]

okay probier ich mal

[KingpiN1_2a0b49]

jetzt steht hier b):
Welche Breite und Höhe darf ein Lkw mit maximaler Querschnittsfläche haben, um die Unterführung passieren zu dürfen? (Sicherheitsabstand bleibt unberücksichtigt)

Wie soll man denn das angehen? oO
Hab echt keine Ahnung…

[KingpiN1_2a0b49]

Kannste dir auch nochmal vielleicht die obere neue Frage anschauen? :-/
wäre sehr nett.

[KingpiN1_2a0b49]

Also ich denke mal man müsste hier Integralrechnung betreiben und die größte viereckige Fläche berechnen die in die Parabel passt.
Aber wie finde ich die größte Fläche heraus?

[DevilSuichiro]

moin;

das Maximum findest du nicht mit Integral- sondern mit Differentialrechnung.

f(x) = -0,26x^2 +3,12x +2,86

Die Querschnittsfläche ergibt sich aus Breite*Höhe. Im optimalen Koordinatensystem (also mit dem Scheitelpunkt auf der y-Achse, dafür brauchst du dann aber auch eine andere Funktionsgleichung!) berechnest du beide recht einfach: Breite ist 2*x (nach links und nach rechts), Höhe f(x).

Hieraus erhältst du eine Formal zur Berechnung der Querschnittsfläche, das Maximum dieser Funktion kannst du über die Nullstellen der ersten Ableitung und Überprüfung mit der zweiten Ableitung berechnen. Aus diesem x-Wert ergibt sich dann wiederum Höhe und Breite des „größten“ möglichen LKWs.

mfG

[Martin]

Hallo,

Also versteh ich das richtig… das ist eine quadratische
Funktion. Also eine Parabel.

ja, die Funktion ist ein Polynom zweiten Grades, deren Graph man als quadratische Parabel bezeichnet.

Eine Parabel ist ja sone Art Tunneleingang, wenn man sie
beschreiben müsste oder?

Die Eingänge echter Verkehrstunnel durch Berge sehen nicht wie Parabeln aus und sind üblicherweise auch keine, sondern Halbkreise oder zumindest Kreisausschnitte, teilweise unten fortgesetzt mit geraden Stücken.

Eine gute Beschreibung einer nach unten geöffneten quadratischen Parabel wäre „die Bahnkurve eines schräg nach oben geworfenen Kieselsteins“.

Sind alle Parabeln quadratische Funktionen?

Nein, es gibt doch auch Parabeln höheren Grades, z. B. kubische Parabeln.

Eine Funktion 3. Grades hat nur 1 Maximum und 1 Minimum?

Höchstens. Sie kann nicht mehr als das haben, aber sehr wohl weniger.

● x³ + x hat weder ein Minimum noch ein Maximum, aber einen Wendepunkt.
http://fooplot.com/x^3+x
● x³ – x hat ein Minimum, ein Maximum und einen Wendepunkt.
http://fooplot.com/x^3-x

Eine Funktion 4. Grades hat 2 Max und 1 Min oder 1 Max und 2 Min?

Höchstens. Sie kann aber auch weniger haben.

● x⁴ hat ein Minimum, aber kein Maximum. Und keinen Wendepunkt.
http://fooplot.com/x^4
● –x⁴ hat …?
● x⁴ – x² hat zwei Minima, ein Maximum und zwei Wendepunkte.
http://fooplot.com/x^4-x^2
● –x⁴ + x² hat …?

Und eine Funktion 5. Grades hat 2 Max und 2 Min?

Höchstens.

● x⁵ + x hat weder ein Maximum noch ein Minimum.
http://fooplot.com/x^5+x
● x⁵ – x hat ein Maximum und ein Minimum.
http://fooplot.com/x^5-x
● x⁵ – 2 x³ + x hat zwei Maxima und zwei Minima.
http://fooplot.com/x^5-2x^3+x

Oder wie erkenne ich am ehesten, um welche Funktion es sich handelt?

Salopp gesagt: Je „verbeulter“ der Graph eines Polynoms ist, desto höher ist dessen Grad. Es wird aber in keiner Aufgabe von Dir verlangt werden, eine Parabel dreizehnter Ordnung zu identifizieren. Es dürfte genügen, wenn Du eine quadratische Parabel nach ihrem Aussehen erkennst, und wenn Du darüberhinaus noch die grundlegenden Eigenschaften von Parabeln dritten und vierten Grades kennst, kann Dich aufgabenmäßig nix mehr erschüttern.

Gruß
Martin

[Volker_Malchow]

Korrektur
Hallo,

ich habe mich vertan, Deine Punkte sind in Deinem System schon korrekt eingegeben, sorry.

Gruß Volker

[Volker_Malchow]

Hallo,

Du hast oben ja schon die Anleitung bekommen. Wähle das optimierte Koordinatensystem, das vereinfacht die Rechnung.

Aber ich schaue mir die Aufgabe auch nochmal an.

Gruß Volker

[Volker_Malchow]

Ergänzung
Auch wenn man grundsätzlich ein Polynom 3. und 4.-Grades noch analytisch lösen kann, wird das in der Schule kaum vorkommen.

Hier wird (fast immer) eine bzw. zwei Lösungen ganzzahlig sein, im Bereich -5 bis +5, so dass man durch Ausprobieren eine oder zwei Lösungen finden kann.

Durch folgende Polynomdivision kann man dann auf eine quadratische Gleichung kommen, die dann mit der p-q-Formel lösbar ist.

Gruß Volker

[Sanders_Horst_e791f8]

Hoffe mir kann jemand helfen…

Y = 0,26*x^2 + 6,5

cu
Horst

[Volker_Malchow]

Korrektur
Hallo,

leider ist das Vorzeichen vor x^2 falsch, es muss negativ sein.
Diese Fkt.-Gleichung gilt im KS bei dem die y-Achse durch den Scheitelpunkt geht.

Gruß Volker

[Sanders_Horst_e791f8]

okay probier ich mal

Die Tunnelprabel ist nach meinen Ermittlungen
Y=0,26*X^2 +6,5

eingesetzt in A=2*X*Y ergibt sich
A=-0,52*x^3+13*x
A´= -1,56*x^2+13 = 0
somit X1 = +2,88 Y1 = 4,34
X2 = -2,88 Y2 = 4,34

Gesamt max Querschnitt(Br*Hö) also 5,77*4,34

[Volker_Malchow]

Korrektur
Moin,

auch hier muss das Vorzeichen vor dem quadratischen Glied negativ sein.

Gruß Volker

[Martin]

Hallo Volker,

Auch wenn man grundsätzlich ein Polynom 3. und 4.-Grades noch
analytisch lösen kann, wird das in der Schule kaum vorkommen.

Du meinst damit die Aufgabe „Bestimme die Nullstellen eines gegebenen Polynoms“. Darum geht es hier aber gar nicht, sondern um „Finde zu einer gewissen Anzahl gegebener Punkte ein Polynom, das durch diese Punkte verläuft“ (bei KingpiN1 drei Punkte und ein Polynom vom Grad zwei). Diese Aufgabe ist immer lösbar, auch z. B. für 8 Punkte und ein Polynom vom Maximalgrad 9. Man muss dazu nur ein lineares Gleichungssystem (mit z. B. 9 Gleichungen für 9 Unbekannte) lösen, was höchstens eine fleißmäßige Herausforderung darstellt, aber grundsätzlich unproblematisch ist.

Gruß
Martin

[Volker_Malchow]

Hallo Martin,

Du meinst damit die Aufgabe „Bestimme die Nullstellen eines
gegebenen Polynoms“.

Ok, da aber über die verschiedenen Möglichkeiten der Anzahlen von Min und Max gesprochen wurde, habe ich es als Ergänzung angeführt.

ein Polynom, das durch diese Punkte verläuft" (bei KingpiN1
drei Punkte und ein Polynom vom Grad zwei).

Ok.

Diese Aufgabe ist

immer lösbar, auch z. B. für 8 Punkte und ein Polynom
vom Maximalgrad 9.

Bei 8 Punkten kannst Du aber nur ein Polynom 7.-Grades finden.

Man muss dazu nur ein lineares

Gleichungssystem (mit z. B. 9 Gleichungen für 9 Unbekannte)
lösen, was höchstens eine fleißmäßige Herausforderung
darstellt, aber grundsätzlich unproblematisch ist.

Das ist richtig.

Ein schönes Weihnachtsfest!

Gruß Volker

[Sanders_Horst_e791f8]

Hallo,

leider ist das Vorzeichen vor x^2 falsch, es muss negativ
sein.

Ja klar, ein Flüchtigkeitsfehler von mir. Sonst wird aus der Toreinfahrt ein Graben