Tach, ich schreibe Montag eine Mathe-LK-Klausur und komme einfach nicht auf eine Aufgabe klar. Wäre nett, wenn mir jemand helfen kann.
a) Es sollen zylindrische Dosen mit dem Volumen V hergestellt werden. Wie sind der Radius und die Höhe zu wählen, damit die gesamte Nahtlinie aus Mantellinie, Deckel- und Bodenrand minimal wird?
b) Wie müssen Radius r und Höhe h gewählt werden, wenn due zylindrische Dose ohne Deckel hergestellt wird und die Oberfläche möglichst klein werden soll?
Ich komme einfach nicht damit klar, wenn man Aufgaben ohne Zahlen lösen soll
a) Es sollen zylindrische Dosen mit dem Volumen V hergestellt
werden. Wie sind der Radius und die Höhe zu wählen, damit die
gesamte Nahtlinie aus Mantellinie, Deckel- und Bodenrand
minimal wird?
Volumen V = π R2 h
Umfang U = 2 π R
Nahtlänge lNaht = 2 U + h
V = 1 ==> R = √(1/(π h)) ==> lNaht = … = 4 √π √(1/h) + h
Funktionenplotter mit „4 √π √(1/x) + x“ füttern und Minimum bei ca. (2.32, 6.97) sehen.
a) Es sollen zylindrische Dosen mit dem Volumen V hergestellt
werden. Wie sind der Radius und die Höhe zu wählen, damit die
gesamte Nahtlinie aus Mantellinie, Deckel- und Bodenrand
minimal wird?
Volumen V=pi*r²*h
Umfang u=2*pi*r
Länge der Naht in Abhängigkeit vom Radius = Rand vom Boden + Rand vom Deckel + Mantellinie:
n®=2*u+h=4*pi*r+V/(pi*r²)
Du suchst ein Extremum, d.h. die erste Ableitung muss 0 werden:
n’®=4*pi-2*V/(pi*r³)
Also 0 setzen, nach r auflösen und dann damit noch h ausrechen:
h=V/(pi*r²)
