Funktion gesucht !

Wissenschaft Physik
#1

Hallo allerseits !

Ich suche zum fitten von Daten eine sigmoidale Funktion, die nicht Punktsymmetrisch in ihrem Wendepunkt ist (wo die Krümmungen links und rechts vom Wendepunkt also verschieden sind).

Wenn ich mir da was zusammenbastele, kommt ein Ungetüm mit 6 Parametern und wirr verschachtelten Potenzen raus, was ich nicht ableiten kann usw. Ich denke, es muß da eine andere, bekannte Lösung geben.

Eine „Standard“-Sigmoidale Funktion wäre ja z.B. a / (1+e^(-b*(x-c)) mit a,b,c als Parameter. Die ist aber eben symmetrisch. Möglicherweise gibt es ja so eine ähnliche Funktion, die nicht symmetrisch ist.

Ich bin sehr dankbar für jeden Tip.

Beste Grüße
Jochen

#2

Ich suche zum fitten von Daten eine
sigmoidale Funktion, die nicht
Punktsymmetrisch in ihrem Wendepunkt ist
(wo die Krümmungen links und rechts vom
Wendepunkt also verschieden sind).

Darf man fragen, welchen Ursprungs diese Daten sind? Möglicherweise gibt es einen modellbasierten Ansatz.

#3

Darf man fragen, welchen Ursprungs diese
Daten sind? Möglicherweise gibt es einen
modellbasierten Ansatz.

Den gibt’s leider nicht. Es sind Daten aus Real-Time PCR’s, die eine exponentielle Produktzunahme in einer zyklischen enzymatischen Reaktion beschreibt. Die Substratab- und Produktzunahme sowie ein in seiner Charakteristik nicht näher beschriebener Verlust der Aktivität des Enzyms als auch sich zeitlich verändernde Eigenschaften des Reportersystems (Fluoreszenz -> Excimere, Hydrolyse, usw.) bewirken einen Übergang in eine Plateauphase, was den Gesamtverlauf eben sigmoid macht. Eine nicht gerade optimale Anpassung wurde mal nach einem theoretischen Modell gemacht, welches die Gompertz-Funktion verwendete. Die fittet die Daten aber definitiv schlechter als z.B. die logistische Gleichung.

Genug Info ?

Grüße,
Jochen

#4

Hi,

Du hast also eine nach oben und unten beschränkte, monoton wachsende Funktion vorliegen?

Dann mach mal folgendes:
Skaliere die Werte auf das Intervall (0,1). Zu jedem Punkt (x,y) berechne (x,z) mit z=-ln((1-y)/y), was y=1/(1+e^(-z)) entspricht, für z(x) dann eine polynomiale Annpassung, oder was sich sonst so aus dem Graphen anbietet, z.B. mit 3. Grades sollte schon die gewünschte Unsymmetrie herauskommen.

Ciao Lutz

#5

Hallo !

Gesetzt den Fall, ich hätte das alles gemacht und habe ein Polynom 3. Grades in die transformierten Daten gefittet (soll doch so sein, oder?), dann habe ich als Ergebnis 4 Parameter dieses Polynoms.

Wie komme ich von da aus zu meiner sigmoidalen Funktion, welche mir die Originaldaten fittet ?

Wie kann ich daraus z.B. den Punkt größter Krümmung (in den Originaldaten) oder andere Eigenschaften ableiten ? [Die Frage ist nur so als Ergänzung gedacht, die Frage oben ist die wichtige!]

Danke schonmal,
Jochen

PS: Leider bin ich noch lange kein Mathematiker, auch wenn ich weiß, wie man „sigmoidal“ buchstabiert… :smile:

#6

exponentielle Produktzunahme in einer
zyklischen enzymatischen Reaktion

Ist die Kinetik mit einer Autokatalyse vergleichbar?

#7

Wie komme ich von da aus zu meiner
sigmoidalen Funktion, welche mir die
Originaldaten fittet ?

y(x)=1/( 1+e^(-z(x)) )

Wie kann ich daraus z.B. den Punkt
größter Krümmung (in den Originaldaten)
oder andere Eigenschaften ableiten ? [Die
Frage ist nur so als Ergänzung gedacht,
die Frage oben ist die wichtige!]

Das sollte Computeralgebra dann können.

Ciao Lutz

#8

exponentielle Produktzunahme in einer
zyklischen enzymatischen Reaktion

Ist die Kinetik mit einer Autokatalyse
vergleichbar?

Es könnte dem einer Autokatalyse mit kooperativer Produkthemmung entsprechen.

#9

Es könnte dem einer Autokatalyse mit
kooperativer Produkthemmung entsprechen.

Dann würde ich versuchen, es mit der Differentialgleichgung für begrenztes exponentielles Wachstum zu beschreiben:

dx/dt=k*x*(1-x/m)

Dabei ist k die Geschwindigkeitskonstante des exponentilellen Wachstums und m die maximale Produktkonzentration. Damit das Ganze Funktioniert muß man als Anfangswert für x eine von Null verschiedene Startkonzentration einsetzen.

Man kann es aber auch komplizierter machen, indem man das ganze System zunächst in alle denkbaren Teilreaktionen zerlegt:

  1. einfache enzymatische Reaktion:

S + E -> P + E

  1. autokatalytische enzymatische Reaktion:

S + P + E -> 2P + E

  1. Denaturierung des Enzyms

E -> D

  1. katalytische Denaturierung

E + P -> D + P

usw.

Dann entwickelt man sinnvolle differentielle Zeitgesetze für diese Teilreaktionen:

  1. dx1/dt=k1*[S]*[E] (oder Michaelis-Menten)
  2. dx2/dt=k2*[S]*[E]*[P]
  3. dx3/dt=k3*[E]
  4. dx4/dt=k4*[E]*[P]
    usw.

Aus diesen Differentialgleichungen kann man sich dann beliebig komplizierte DGL-Systeme zusammenbasteln, mit denen jede Meßkurve anpaßbar ist.

Für eine autokatalytische enzymatische Reaktion mit Startreaktion und produkt-katalysierter Denaturierung des Enzyms würde man beispielsweise die Schritte 1, 2 und 4 berücksichtigen.