Hallo Experten
Ich habe ein Problem mit folgender Funktion beim Integrieren
(2-sin(x))^2
Kann mir bitte wer weiterhelfen mit Zwischenschritten?
Ich weiß dasss ich den inneren Teil substiuieren muss aber ich komme nicht auf das Richtige Ergebnis.
Mfg Stefan
Hallo,
Ich habe ein Problem mit folgender Funktion beim Integrieren
(2-sin(x))^2
falls Du die Methode frei wählen kannst: Einfach expandieren, sin2(x) = 1/2 (1 – cos(2x)) benutzen und summandenweise integrieren.
Gruß
Martin
Hossa 
(2-sin(x))^2
Ich weiß dasss ich den inneren Teil substiuieren muss aber
ich komme nicht auf das Richtige Ergebnis.
Mit Substitution kommst du hier nicht wirklich weiter. Partielle Integration passt deutlich besser:
(2-\sin x)^2=4-4\sin x+\sin^2x
\int (2-\sin x)^2,dx=4x+4\cos x+\int\sin^2x,dx
Bleibt noch das rechte Integral:
\int\sin^2x,dx=\int\underbrace{\sin x}_{=u^\prime},\underbrace{\sin x}_{=v},dx=\underbrace{-\cos x}_{=u},\underbrace{\sin x}_{=v}-\int\underbrace{-\cos x}_{=u},\underbrace{\cos x}_{=v^\prime},dx
\int\sin^2x,dx=-\cos x,\sin x+\int\cos^2x,dx=-\frac{1}{2}\sin(2x)+\int(1-\sin^2x),dx
Ganz links und ganz rechts steht zwei Mal dasselbe Integral, also kann ich das rechte davon auf die andere Seite bringen:
2\int\sin^2x,dx=-\frac{1}{2}\sin(2x)+x
\int\sin^2x,dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)
Alles zusammengeschraubt ergibt:
\int (2-\sin x)^2,dx=4x+4\cos x+\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)
\int (2-\sin x)^2,dx=\frac{9x}{2}+4\cos x-\frac{1}{4}\sin(2x)
Viele Grüße
Hasenfuß