Hallo,
eine Funktion wie z. B. f(x) = (x²-1)/(x-1)
hat bei x = 1 eine Lücke im Definitionsbereich.
Sie ist somit an dieser Stelle nicht stetig. Ist sie damit an dieser Stelle auch nicht differenzierbar?
Sowohl für Stetigkeit, als auch für die Steigung ergibt sich an so einer Stelle doch von links und rechts der gleiche Grenzwert.
*grübel*
Gruß JK
Hi,
Sie ist somit an dieser Stelle nicht stetig. Ist sie damit an
dieser Stelle auch nicht differenzierbar?
Sowohl für Stetigkeit, als auch für die Steigung ergibt sich
an so einer Stelle doch von links und rechts der gleiche
Grenzwert.
*grübel*
Dann hast du den netten Fall, dass du stetig ergänzen kannst, indem du eine Fallunterscheidung machst.
Grüße,
JPL
Dass ich sie stetig ergänzen darf (und wie man das vorher überprüfen kann/muss) weiß ich.
Aber darf man die Funktion (im „Vorherzustand“) hier als differenzierbar bezeichnen?
Gruß JK
Hä?!?
also erstens ist die funktion stetig, da der (linksseitige und rechtsseitige Grenzwert f(x) -> 1 existiert und gleich ist.
Ist sie diff’bar (und somit eh stetig), da der Grenzwert des Differentialquotienten existiert.
Somit hat er den netten Fall einer hebbaren Polstelle! (Er könnte ja (x-1)(x+1) / (x-1) kürzen und hätte somit nur noch als Funktion f(x) = x+1
Gruß Joachim
Hallo
eine Funktion wie z. B. f(x) = (x²-1)/(x-1)
hat bei x = 1 eine Lücke im Definitionsbereich.
Richtig. Sie ist also für x=1 nicht definiert.
Sie ist somit an dieser Stelle nicht stetig.
Falsch. Wenn f für x=1 nicht existiert, ist sie an dieser Stelle weder stetig noch unstetig. Sie existiert dort halt nicht.
Ist sie damit an dieser Stelle auch nicht differenzierbar?
Sowohl für Stetigkeit, als auch für die Steigung ergibt sich
an so einer Stelle doch von links und rechts der gleiche
Grenzwert.
Aus Diffbarkeit einer Funktion an einer Stelle x0 folgt ihre Stetigkeit an dieser Stelle. Aber nachdem f bei 1 nicht existiert ist sie dort auch nicht diffbar.
Gruß Orchidee
Danke für die Information!
Also könnte man sagen, dass Stetigkeit an dieser/einer Stelle eine „notwendige Bedingung“ für Differenzierbarkeit ist?
Gruß JK
yes
Stetigkeit mit Regel von L’Hôpital bewiesen.
Hallo,
Hallo,
eine Funktion wie z. B. f(x) = (x²-1)/(x-1)
hat bei x = 1 eine Lücke im Definitionsbereich.
Sprich, es handelt sich an der Stelle x_0=1 um Nullstellen des Zählers und des Nenners.
Sie ist somit an dieser Stelle nicht stetig.
Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x_0 dann stetig, wenn folgender Grenzwert exisitert:
\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0).
Du hast nun einen Sonderfall, eine Funktion, die als Quotient zweier Funktionen dargestellt ist. Nun gilt eine Regel, die sich Regel von L’Hôpital nennt.
Besitzen beide Funktionen (Zähler und Nenner) dieselbe Nullstele und sind beide Funktionen an dieser Stelle differenzierbar, so gilt
\lim_{x \to x_0}\frac{u(x)}{v(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{u’(x)}{v’(x)}.
Bilden wir also den Grenzwert, des von Dir gegebenen Beispiels, so wie es die rechten Seite der obigen Gleichung verlangt:
\lim_{x \to x_0}\frac{2x}{1}=2x_0.
Da gilt x_0=1, gilt
\lim_{x \to x_0}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x \to x_0}\frac{2x}{1}=2.
Somit ist die Funktion an der Stelle 1 stetig.
Nun ist eigentlich noch nicht viel getan, da zwar jede Funktion, die an einer Stelle x_0 differenzierbar ist auch stetig sein muss, aber der Umkehrschluss, aus Stetigkeit folge Differenzierbarkeit nicht gilt (siehe Betragsfunktion, Kochkurve, Weierstraßfunktion etc.)
Gruß, David
Hallo David,
Deine Definition ist nicht ganz vollständig. Wäre sie es, sähest Du, dass die Funktion f an der Stelle x0=1 nicht stetig sein kann.
Warum ist sie nicht vollständig? Weil eine Funktion nur dann wohldefiniert ist, wenn Definitions- und Wertebereich gegeben sind.
Eine Funktion f:M\to N ist an der
Stelle x_0\in M dann stetig, wenn
folgender Grenzwert exisitert:
\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0).
Und genau dort ist das Problem: Stetigkeit ist nur für Elemente des Definitionsbereiches einer Funktion definiert, und x0=1 gehört nun einmal nicht dazu.
In allem, was Du nach der (unvollständigen) Definition von Stetigkeit geschrieben hast, hast Du gezeigt, dass f stetig fortsetzbar auf R ist. Die stetige Fortsetzung von f ist dann natürlich auch in x0=1 differenzierbar, aber f selbst eben nicht.
Liebe Grüße
Immo