Funktion mit prozentualem Senken von 'x'

GURKE_deluxe · 18. Juli 2009 um 12:45

Hi,
Ich brauche ein Funktion zu diesem Thema hier:
Ich habe 1 Wasser und jede Zeiteinheit (x) kommt (1 Wasser - Salz)/100 Salz hinzu.
Also sieht das so aus:
x=0 ; (1 - 0) / 100 = 0,01 ; Also +0,01 Salz
x=1 ; (1 - 0,01) / 100 = 0,0099
x=2 ; (1 - 0,01 - 0,0099) / 100 = 0,009801
x=3 ; (1 - 0,01 - 0,0099 - 0,009801) / 100 = 0,00970299

Wie bekomme ich dass jetzt zu einer Funktion wo das x auch vorhanden ist?
Also:
f(x)=xyz

Wobei xyz= Die Funktion

Gruß
GURKE

Würde mich für sinnvolle Antworten bedanken!

GURKE_deluxe · 18. Juli 2009 um 13:14

ZUSATZ
PS: Natürlich kann man das auch anders schreiben:
x=0 ; (1 - 0) / 100 = 0,01 ; Also +0,01 Salz
x=1 ; (1 - (1 - 0) / 100) / 100 = 0,0099
x=2 ; (1 - (1 - 0) / 100 - (1 - 0,01) / 100) / 100 = 0,009801
x=3 ; (1 - (1 - 0) / 100 - (1 - 0,01) / 100 - (1 - 0,01 - 0,0099) / 100) / 100 = 0,00970299

bzw.:

x=0 ; (1 - 0) / 100 = 0,01 ; Also +0,01 Salz
x=1 ; (1 - x(0)) / 100 = 0,0099
x=2 ; (1 - x(0) - x(1)) / 100 = 0,009801
x=3 ; (1 - x(0) - x(1) - x(2)) / 100 = 0,00970299

Allerdings kann man das ja so nicht als Funktion schreiben, oder?

Also sowas?
f(x)=(1 - x(0) - x(1) - x(2)…) / 100 ; Bis x(y) y=x

Gruß
GURKE

Martin · 18. Juli 2009 um 13:46

Hallo,

wann immer Du eine Variable f auf einen Initialwert f₀ setzt und sie danach fortgesetzt mit einer Konstanten C multiplizierst, liegt ein exponentielles Wachstum (bei C > 1) oder eine exponentielle Abnahme (bei C 0 · C^x vor.

In Deinem Beispiel ist f₀ = 0.01 und C = 0.99 und die Funktion lautet somit

f(x) = 0.01 · 0.99^x

oder

f(x) = 0.01 · e^{–0.01005 x} (–0.01005 = ln 0.99)

Gruß
Martin

DaChwa_3345c1 · 18. Juli 2009 um 18:13

Moin,

wann immer Du eine Variable f auf einen Initialwert
f₀ setzt und sie danach fortgesetzt mit einer
Konstanten C multiplizierst, liegt ein exponentielles Wachstum
(bei C > 1) oder eine exponentielle Abnahme (bei C 0 · C^x vor.

Hier handelt es sich aber um ein begrenztes Wachstum, nicht um exponentielles. Der neue Wert an Salz ist ja nicht abhängig vom alten Salzgehalt, sondern von der DIFFERENZ zwischen 1 und dem alten Salzgehalt.

Liebe Grüße
DaChwa

DaChwa_3345c1 · 18. Juli 2009 um 18:24

Moin,

ich kann dir ne Formel anbieten, auf die Schnelle aber nur mit zwei kleinen Haken: zum einen ist es keine explizite, sondern eine rekursive Formel, die wirst du vielleicht nicht ganz so toll finden oder gebrauchen können, und zum anderen ist es eine Formel für den Gesamtsalzgehalt, nich für den neu hinzukommenden Salzanteil. Da du aber kein Wort darüber verloren hast, wofür du die Formel brauchst, weiß ich nicht genau, was dir am meisten helfen würde…

Also, jetzt die Formel:

f(x+1) = f(x) + ( 1-f(x))/100
f(0)=0

Du kannst jetz aus dem ersten Wert (f(0)=0) den nächsten errechnen (f(1)=1,01) und daraus den nächsten und so weiter…

Wie man so eine rekursive Formel in eine explizite umwandelt, weiß ich leider auch nicht… Vielleicht kann dir da ja ein anderer hier weiterhelfen.

Liebe Grüße
DaChwa

Martin · 19. Juli 2009 um 15:10

Hallo,

ich kann dir ne Formel anbieten, auf die Schnelle aber nur mit
zwei kleinen Haken: zum einen ist es keine explizite, sondern
eine rekursive Formel, die wirst du vielleicht nicht ganz so
toll finden oder gebrauchen können, und zum anderen ist es
eine Formel für den Gesamtsalzgehalt, nich für den neu
hinzukommenden Salzanteil.

die Formel für die neu hinzukommende Salzmenge s ist wie schon gesagt

s(x) = 0.01 · 0.99^x

oder dazu äquivalent

s(x) = 0.01 · e^{–0.010050335 x} (0.010050335 = ln 0.99)

Wertetabelle:
s(0) = 0.01
s(1) = 0.0099
s(2) = 0.009801
s(3) = 0.00970299
s(4) = 0.00960596
s(5) = 0.00950990
s(6) = 0.00941480

Daraus die Formel für den _Gesamt_salzgehalt g zu gewinnen, ist ein Klacks – man muss ja nur s(x) integrieren. Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung g(0) = 0 ergibt das

g(x) = 1 – e^{–0.010050335 x}

(Die Ableitung davon ist g’(x) = 0.010050335 e^{–0.010050335 x} und weicht damit geringfügig von s(x) ab. Darin kommt zum Ausdruck, dass beim ursprünglichen Problem das Salz diskret zu den Zeitpunkten 0, 1, 2, 3… zugegeben wird, wir bei der Lösung aber so tun, als würden wir das Salz kontinuierlich zugeben.)

Wertetabelle:
g(0) = 0
g(1) = 0.0099999
g(2) = 0.0198999
g(3) = 0.0297009
g(4) = 0.0394039
g(5) = 0.0490099
g(6) = 0.0585198

Also, jetzt die Formel:

f(x+1) = f(x) + ( 1-f(x))/100
f(0)=0

Wertetabelle:
f(0) = 0
f(1) = 0.01
f(2) = 0.0199
f(3) = 0.029701
f(4) = 0.0394039
f(5) = 0.0490099
f(6) = 0.0585198

Du kannst Dir auch überlegen, dass die kontinuierliche Version von f(x + 1) = f(x) + (1 – f(x))/100 so lauten muss:

g(x + dx) = g(x) + (1 – g(x)) k dx

mit zum Faktor 1/100 passenden k (ohne Beweis: ln(1 – 1/100) ist der passende k-Wert).

⇔ g(x + dx) – g(x) = (1 – g(x)) k dx

⇔ (g(x + dx) – g(x))/dx = g’(x) = (1 – g(x)) k

⇔ g’(x) + k g(x) = k

Das ist die DG dieses Vorgangs mit Lösung g(x) = 1 – e^{–k x}.

Gruß
Martin

GURKE_deluxe · 19. Juli 2009 um 21:37

Hi,

…

Danke für die ausführliche Antwort!

Gruß
Martin

Gruß
GURKE

DaChwa_3345c1 · 20. Juli 2009 um 10:03

Moin!

die Formel für die neu hinzukommende Salzmenge s ist
wie schon gesagt

s(x) = 0.01 · 0.99^x

Stimmt, wie konnte mir das denn entgehen? Ich war irgendwie direkt auf den Gesatsalzgehalt gesprungen… und dann hab ich irgendwie aufm Schlauch gestanden…

Daraus die Formel für den _Gesamt_salzgehalt g zu
gewinnen, ist ein Klacks – man muss ja nur s(x) integrieren.
Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung g(0) = 0 ergibt
das

g(x) = 1 – e^{–0.010050335 x}

Ja, stimmt, das hätte man dann wirklich hinbekommen können… wenn man denn s(x) gehabt hätte… wie dumm von mir…

Also, jetzt die Formel:

f(x+1) = f(x) + ( 1-f(x))/100
f(0)=0

Du kannst Dir auch überlegen, dass die kontinuierliche Version
von f(x + 1) = f(x) + (1 – f(x))/100 so lauten muss:

g(x + dx) = g(x) + (1 – g(x)) k dx
⇔ g’(x) + k g(x) = k

Das ist die DG dieses Vorgangs mit Lösung g(x) = 1 – e^–k
x.

Okay, Differentialgleichungen… Soweit bin ich noch nich… Aber man lernt ja immer gerne dazu! Vor allem bei so schönen, ausführlichen Erklärungen wie deiner. Vielen Dank dafür! Vielleicht sollte ich beim nächsten mal nicht auf Probleme antworten, wenn ich nicht genug Zeit habe, noch ein zweites Mal nachzudenken…

Liebe Grüße
DaChwa

DaChwa_3345c1 · 20. Juli 2009 um 10:04

Moin!
Bitte entschuldige meine vorschnelle Kritik… Du hast natürlich vollkommen Recht!

Liebe Grüße
DaChwa

DaChwa_3345c1 · 20. Juli 2009 um 10:07

OT: Bewertungspunkt
Hey!
Ich würde dir hierfür gerne einen Bewertungspunkt geben, bin aber leider noch keine zwei Monate bei WWW und darf noch nicht… Aber sobald ich darf, bekommst du den Stern, versprochen!
Liebe Grüße
DaChwa

Martin · 21. Juli 2009 um 22:24

Aber sobald ich darf, bekommst du den Stern, versprochen!

Salü DaChwa,

merci meinerseits für das nette Feedback. Das mit dem Stern wird zwar technisch nicht gehen, weil der Artikel dann schon längst archiviert ist – tränewegwisch – aber trotzdem danke, ich freu mich auch so.

Mit bestem Gruß zurück
Martin