Hallo,
ich suche für eine Aufgabe eine unendlich oft diffbare Funktion, die auf ganz R definiert ist und für die gilt:
int(-oo,+oo)f²(x)dx
Hallo Oliver,
ich suche für eine Aufgabe eine unendlich oft diffbare
Funktion, die auf ganz R definiert ist und für die gilt:int(-oo,+oo)f²(x)dx
Hallo Oliver,
ich suche für eine Aufgabe eine unendlich oft diffbare
Funktion, die auf ganz R definiert ist und für die gilt:int(-oo,+oo)f²(x)dx
Hello again,
Die Funktion muss eine schnell fallende Funktion sein, aber
ihre Ableitung nicht.
Yes! Wenn Du nun aber von Deiner Funktion verlangst, daß ihre Ableitung einfach gegen einen endlichen Wert – z. B. 4.8 – gehen soll, dann willst Du tatsächlich etwas Unmögliches (eine Funktion mit dieser Eigenschaft gibt es nicht). Aber das Quadrat in „(f’(x))^2“ wird auch noch zu was gut sein. Du hast es schon richtig erkannt: Die Ableitung darf nie „sterben“ (= gegen Null gehen), und mit einer faulen Ableitung, die einfach gegen einen festen Wert geht und sich dort ausruht, funktioniert es nicht.
Aber ich finde keine solche Funktion.
Aber eine Funktion, die immer „in Bewegung“ bleibt, ohne irgendwo unendlich zu werden und ohne jemals gegen einen festen Wert zu gehen, kennst Du?
KEnnst du eine??
Eine? Unendlich viele! 
Martin
HAllo,
mach’s doch nicht so pannend…
Aber ich finde keine solche Funktion.
Aber eine Funktion, die immer „in Bewegung“ bleibt, ohne
irgendwo unendlich zu werden und ohne jemals gegen einen
festen Wert zu gehen, kennst Du?
Naja, vielleicht irgendeine Sinusfuntion. Ich dachte schon an
f(x)=sin(x)/wurzel(x)
die ist aber leider nicht auf ganz R definiert.
Außerdem dachte ich mal an eine Funktion in der Art:
f(x)=exp(-g(x))
mit einer wachsenden Funktion g(x). Leider bügelt aber die e-Funktion in der Ableitung f’(x)=-exp(-g(x))g’(x) alles wieder glatt.
KEnnst du eine??
Eine? Unendlich viele!
Ja klar, wer eine kennt, kennt unendlich viele. Hast du auch bedacht, dass die Funktion auf ganz R definiert sein muss und unendlich oft diff’bar sein soll?
Wenn ja, dann lass dich doch nicht lange bitten und hilf mir doch. Glaub mir ich hab schon ziemlich viel runprobiert, aber irgendwie komm ich eben nicht drauf. 
Gruß
Oliver
Hi Oliver,
Naja, vielleicht irgendeine Sinusfuntion. Ich dachte schon an
f(x)=sin(x)/wurzel(x)
das ist es doch schon fast!
die ist aber leider nicht auf ganz R definiert.
Stimmt. Deshalb hat sie noch ein bischen Tuning nötig. sin(x) sorgt erstmal dafür, daß die Ableitung für |x| –> oo trotz f –> 0 munter bleibt. Damit es keine Probleme am Ursprung gibt ("/0"), nimmst Du nicht wurzel(x), sondern 1 + x^2. sin(x)/(1 + x^2) ist überall definiert und auch unendlich oft diffbar. Wenn Du Dir den Graphen plotten läßt, wirst Du allerdings festellen, daß die Ableitung dummerweise *nicht* leben bleibt. Dem kannst Du abhelfen, indem Du die Frequenz des Sinus mit größer werdendem x hochdrehst. x^2 reicht dabei nicht, erst mit x^3 funzt es.
Mein Vorschlag also: f(x) = sin(x^3)/(1 + x^2)
Für |x| –> oo geht f '(x) gegen 3*cos(x^3).
Check bitte auch noch mal nach, ob dieses f alle Bedingungen erfüllt oder ob ich doch noch was übersehen habe.
Ciao
Martin
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Hut ab!
Hi Martin,
Mein Vorschlag also: f(x) = sin(x^3)/(1 + x^2)
Check bitte auch noch mal nach, ob dieses f alle Bedingungen
erfüllt oder ob ich doch noch was übersehen habe.
Jep! Erfüllt alles. Vielen Dank! Mensch, der hätt ich doch echt selbst drauf kommen können.
Naja… was soll’s. Danke nochmal
Gruß
Oliver
Hut wieder auf
Hallo Martin nochmal,
Mein Vorschlag also: f(x) = sin(x^3)/(1 + x^2)
Für |x| –> oo geht f '(x) gegen 3*cos(x^3).
Check bitte auch noch mal nach, ob dieses f alle Bedingungen
erfüllt oder ob ich doch noch was übersehen habe.
Ich glaub, die Funktion geht doch nicht. Laut Maple kommt für
das Integral über dein f’(x) ein endlicher Wert raus. Was
vielleicht daran liegt, dass cos(x³) immer schneller oszilliert
und damit die Flächen, wo etwas zum Integral dazu kommt immer
kleiner wird. So dass es am Ende eben doch konvergiert.
Also zurück ans Zeichenbrett :*-(
Gruß
Oliver
Mist
Re Hi Oliver auch,
Mein Vorschlag also: f(x) = sin(x^3)/(1 + x^2)
Ich glaub, die Funktion geht doch nicht. Laut Maple kommt für
das Integral über dein f’(x) ein endlicher Wert raus. Was
vielleicht daran liegt, dass cos(x³) immer schneller
oszilliert
und damit die Flächen, wo etwas zum Integral dazu kommt immer
kleiner wird. So dass es am Ende eben doch konvergiert.
das erstaunt mich einerseits, weil ich nie gedacht hätte, daß int [-oo…oo] ((cos(x^3))^2 dx) konvergiert, aber andererseits weiß ich auch, daß man mit der Intuition bei diesen Geschichten oft böse danebenliegen kann; daher fällt es mir nicht schwer, Dir zu glauben. Leider ist im Bronstein in Sachen Stammfunktion zu (cos(x^3))^2 nix zu finden, und ich kann mich nicht mal daran erinnern, jemals zuvor eine Potenz in dem Argument einer trigonometrischen Funktionen gesehen zu haben. Sowas wie sin(x^3) ist wohl extrem „exotisch“. Würde mich mal interessieren, ob Maple da stammfktmäßig was ausspuckt (starke Vermutung: nein).
Was hälst Du aber von dieser Idee: Wenn wir eine Funktion haben, die überall endlich ist, aber deren Steigung irgendwo divergiert (also ihr Graph strebt in irgendeinem Punkt in die Senkrechte), dann wäre das ja auch erfolgversprechend. Leider ist es mir nur gelungen, eine *abschnittweise definierte* solche Funktion zu finden, aber damit sollte man leben können:
f(x) = sqrt(1 – x^2) für |x| 0.
Was meinst Du dazu?
Gruß
Martin
kleines Problem
Hallo Martin,
Würde
mich mal interessieren, ob Maple da stammfktmäßig was
ausspuckt (starke Vermutung: nein).
Maple spuckt tatsächlich etwas aus, das ist dann aber ein riesiger Ausdruck bringt also nichts den hier abzutippen. Außerdem steht da sowas drin wie „LommelS1(5/6,1/2,x^3)“ und ich weiß nicht, was er damit meint.
Aber schau dir doch mal den Graph von sin(x^3) an. Spätestens nach x=5 sind da soviele Oszillationen drin, dass der Monitor es nicht mehr auflösen kann. Kann schon sein, dass das konvergiert.
Was hälst Du aber von dieser Idee:
f(x) = sqrt(1 – x^2) für |x|
Hi Oliver,
Aber schau dir doch mal den Graph von sin(x^3) an. Spätestens
nach x=5 sind da soviele Oszillationen drin, dass der Monitor
es nicht mehr auflösen kann. Kann schon sein, dass das
konvergiert.
ich habe mir die Sache nochmal überlegt und bin zu der Überzeugung gelangt, daß es di vergieren muß.
Begründung: Die „Berge“ von (cos(x^3))^2 werden zwar immer schmaler und jeder einzelne trägt tatsächlich immer weniger zum Integral bei, ABER gerade in dem Maße wie die Berge schmaler werden folgen sie auch immer dichter aufeinander! Dagegen ist die infinitesimale Breite des „dx“ in int […] f(x) konstant. Wenn der Abstand der „Berge“ von (cos(x^3))^2 ebenfalls konstant wäre (z. B. 0.85), würde das Integral (selbstverständlich)konvergieren, so aber muß es divergieren.
Anders ausgedrückt: Die Funktion (cos x)^2 hat den Mittelwert 1/2, ebenso wie (cos(5 x))^2 und (cos(1000000 x))^2 und (cos(x^3))^2. Egal, wie hoch die Frequenz wird – der Mittelwert ist stets 1/2.
Beweis rechnerisch:
(cos(ax))^2 = 1/2 + 1/2 cos(2ax)
Der Mittelwert des zweiten Summanden „1/2 cos(2ax)“ ist Null, folglich ist der Mittelwert von (cos(ax))^2 die übrigbleibende Konstante 1/2.
Beweis anschaulich:
Du kannst überall einen „Berg“ („Normalnull“ ist bei 0.5) von (cos ax)^2 abschneiden, auf den Kopf drehen und damit das benachbarte Tal perfekt ausfüllen. Gehe auf der x-Achse soweit nach rechts, wie Du willst, es funktioniert immer.
Fazit:
int [0…oo] (cos(x^3))^2 dx = int [0…oo] 1/2 dx = oo
Daher behaupte ich jetzt definitiv und unwiderruflich , daß die Funktion
sin(x^3)/(1 + x^2)
alle Bedingungen erfüllt.
Was hälst Du aber von dieser Idee:
f(x) = sqrt(1 – x^2) für |x|