Funktionen

[fred9999_1842f9]

Hallo!
Wie kann ich folgendes begründen?
Wenn eine Funktion f: A -> B auf einer Menge M Teilmenge A injektiv ist, dann ist sie streng monoton wachsend oder streng monoton fallend.

Wie zeige ich, dass die Funktion f: R(-3) -> R(2), y= (2x-1)/(x+3)
bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion fhoch -1. Begründen Sie warum -3 bzw. 2 nicht im Definitions bzw. Wertebereich der Funktion f liegen können.

ich weiß nur -3 darf nicht im wertebereich sein, weil ich sonst im Nenner 0 hätte. der rest ist mir noch nicht klar.
danke im voraus für eure Hilfe,
Fred

[Walter_H_030cd6]

Hallo Fred,

1.)

bei strenger Monotonie gilt:

s f(s) t => f(s) > f(t) und aus dem folgt:

f(s) = f(t) => s = t

2.)

f: R(-3) -> R(2), y = (2x - 1) / (x + 3)

die -3, richtig erkannt da sonst Division durch 0, daher nicht im Definitionsbereich

die +2: hier soll ein Wert der Definitionsmenge gesucht werden, sodaß der Wert der Fkt. +2 ergibt;

2 = (2x-1)/(x+3) | -3 nimmt x nicht an, daher ist multiplikation mit
(x+3) eine äquivalente Umformung

2(x+3) = 2x-1
2x + 6 = 2x - 1 | da siehst es schon, es gibt kein x, für welches
diese Gleichung erfüllt ist, daher ist die +2 aus
dem Wertebereich ausgenommen

das Zeigen der Bijektivität geht über das Zeigen der Injektivität und der Surjektivität;

injektiv: wie lautet die Def.?

f(s) = f(t) => s = t bijektiv

die Umkehrfkt. haben wir bereits: x = -(1 + 3y)/(y - 2) R(-3), y = -(1 + 3x)/(x - 2)

Gruß,
Walter

[fred9999_1842f9]

Hallo!
danke für deine lösung. wenn gefragt ist, ob eine _Gleichung bijektiv ist, muss ich auch beweisen dass sie surjektiv isz? kann ich nicht einfach nur die umkehrfunktion rechnen und das ist schon der beweis?
auf jeden fall ist mir alles klar bis dahin:

f(x) = f(-(1 + 3y)/(y - 2)) =
[-2(1 + 3y)/(y - 2) - 1]/[-(1 + 3y)/(y - 2) + 3] = wie kommst du auf das???
[(-2 - 6y)/(y - 2) - (y - 2)/(y - 2)] /
[-(1 + 3y)/(y - 2) + 3(y - 2)/(y - 2)] =
[(-2 - 6y - y + 2)/(y - 2)] /
[(-1 - 3y)/(y - 2) + (3y - 6)/(y - 2)] =
[(-7y)/(y - 2)] / [(-1 - 3y + 3y - 6)/(y - 2)] =
[(-7y)/(y - 2)] / [(-7)/(y - 2)] = y

damit ist die Surjektivität gezeigt; wieso? nur weil [(-7y)/(y - 2)] / [(-7)/(y - 2)] = y???

stimmen übrigens folgende Gleichungen?
Aufgabe: Zu den Funktionen den größtmöglichen Definitionsbereich und einen geeigneten Wertebereich angeben, weiters sind die Eigenschaften Monotonie, Injektivität, Surjektivität und Bijektivität zu diskutieren.

f(x) = x³ + 2x² -x + 2

Definitionsbereich hab ich einfach R, Wertebereich auch R, also R -> R
dann ist diese funktion injektiv, weil ich für mehrere x Werte (-2, -1, 1) den selben y Wert (4) rausbekomme.
Wenn ich das ganze jetzt grafisch darstelle, sehe ich, dass diese funktion von -unendlich bis -2 streng monoton wächst, bzw. bis -1 monoton wächst, dann bis 0 streng monoton fällt und ab 0 bis unendlich wieder streng monoton wächst.

f(x) = 1/(x-10)
Hier hab ich für den definitionsbereich R ohne 10, weil ich sonst eine Division durch 0 hätte, wertebereich ist bei mir R
funktion ist bei mir bijektiv, weil für jedes x genau 1 y;
von -unendlich bis 9 ist die funktion bei mir streng monoton fallend, von 11 bis unendlich auch streng monoton fallend.
stimmt das?

f(x) = (x³-7) / ((xhoch 4) -1)
Definitionsbereich R ohne 1 und ohne -1
wertebereich R
funktion ist bijektiv, weil für jedes x genau ein y
funktion bis 0 streng monoton fallend ind dann streng monoton wachsend

danke vielmals,
Fred

[Walter_H_030cd6]

Hi Fred,

Hallo!
danke für deine lösung. wenn gefragt ist, ob eine _Gleichung
bijektiv ist, muss ich auch beweisen dass sie surjektiv isz?
kann ich nicht einfach nur die umkehrfunktion rechnen und das
ist schon der beweis?

der Beweis der Bijektivität läßt sich nur mittels injektiv und surjektiv durchführen

auf jeden fall ist mir alles klar bis dahin:

f(x) = f(-(1 + 3y)/(y - 2)) =
[-2(1 + 3y)/(y - 2) - 1]/[-(1 + 3y)/(y - 2) + 3] = wie kommst du auf das???
[(-2 - 6y)/(y - 2) - (y - 2)/(y - 2)] /
[-(1 + 3y)/(y - 2) + 3(y - 2)/(y - 2)] =
[(-2 - 6y - y + 2)/(y - 2)] /
[(-1 - 3y)/(y - 2) + (3y - 6)/(y - 2)] =
[(-7y)/(y - 2)] / [(-1 - 3y + 3y - 6)/(y - 2)] =
[(-7y)/(y - 2)] / [(-7)/(y - 2)] = y

hier habe ich einfach die mittels Äquivalenzumformungen entstandene Umkehrfkt. x = f(y) in die gleichung y = f(x) eingesetzt;

damit ist die Surjektivität gezeigt; wieso? nur weil [(-7y)/(y - 2)] / [(-7)/(y - 2)] = y???

genau nur deswegen, würde sie nicht surjektiv sein, wäre ich auf einen Widerspruch gestoßen.

stimmen übrigens folgende Gleichungen?
Aufgabe: Zu den Funktionen den größtmöglichen
Definitionsbereich und einen geeigneten Wertebereich angeben,
weiters sind die Eigenschaften Monotonie, Injektivität,
Surjektivität und Bijektivität zu diskutieren.

f(x) = x³ + 2x² -x + 2

Definitionsbereich hab ich einfach R, Wertebereich auch R,
also R -> R
dann ist diese funktion injektiv, weil ich für mehrere x Werte
(-2, -1, 1) den selben y Wert (4) rausbekomme.
Wenn ich das ganze jetzt grafisch darstelle, sehe ich, dass
diese funktion von -unendlich bis -2 streng monoton wächst,
bzw. bis -1 monoton wächst, dann bis 0 streng monoton fällt
und ab 0 bis unendlich wieder streng monoton wächst.

]-inf;lok. max.[

[fred9999_1842f9]

Hi Walter!

DANKE, SEHR NETT, DASS DU MIR SOVIEL GEHOLFEN HAST
stimmen bei den restlichen bsp. auch meine behauptungen über injektivität usw.???
kann ich injektivität und surjektivität auch aus den graphen herauslesen, oder muss ich es immer rechnen, so wie du es machst?

eine allgemeine frage, weil ich gerade mit meinen kollegen diskutiere.

warum ist R+ -> R injektiv?

meine Lösung war: weil
x | y
1 | 1
2 | 4
3 | 9

usw., wenn ich mir nur diese Werte anschaue könnte ich sagen sie ist bijektiv,
weil aber für y = 0 für R+ keinen Wert rausbekomme, sprich

x | y

• | 0
  kann ich sagen mir bleibt ein y über => die funktion ist daher injektiv
  stimmt das?
  ich beurteile injektivität bzw. surjektivität aus der gesamtheit der wertetabelle.
  schaue, ob mir eines übrig bleibt, oder ob es für ein x mehrere y etc. gibt.
  mein kollege nimmt sich jeden wert extra her

sagt:
x | y
1 | 1
2 | 4
3 | 9

vergleicht 1|1 -> bijektiv
2|4 -> injektiv usw…
daher nimmt er R+ ohne 1, weil es bijektiv wäre
irgendwie hat er mich jetzt ziemlich verwirrt, was ist nun richtig?
kannst du mir bitte noch ein letztes mal schnell helfen, hab um 5 die übung,
Fred

[Walter_H_030cd6]

Hallo Fred,

bei y = x^2 liegt es an den Mengen

R -> R R R+ R- keine Abbildung

und so weiter
ob diese Fkt. injektiv ist oder nicht

sobald Du zwei verschiedenen x-Werten ein und denselben y-Wert zuordnen kannst, ist sie nicht injektiv

Beweis von Injektivität, Surjektivität bzw. Bijektivität?

ich weiß ehrlich gesagt gar nicht mehr, wann man das in der Schule lernt; aber ich würde die rechnerische Variante vorziehen => das Auge täuscht

auf der Unität ist die rechnerische Variante sowieso ein Muß!

Gruß,
Walter