Hallo!
- Wie nennt man den Graph? (also haben die Funktionen wenn man
sie zeichnet einen Sondernamen so wie die Parabel oder so?)
Man nennt sie „Parabel 3. Grades“ bzw. „Parabel 4. Grades“.
Nicht jede Funktion hat einen Sattelpunkt. Es handelt sich ein Punkt, an dem die Steigung des Graphen 0 ist (waagrechte Tangente). Es ist aber kein Extremum (Hoch- oder Tiefpunkt), weil es sich gleichzeitig um einen Wendepunkt handelt (eine Linkskurve geht in einer Rechtskurve über).
Bsp.: y=x³ hat bei x=0 einen Sattelpunkt.
- kann man aus dem Funktionsterm ablesen, welches
Fernverhalten die Funktion hat wenn ja wie?
Ja. Entschedend dafür ist der Term mit dem höchsten Grad. Bei Funktionen, die einen geraden Grad haben (2., 4., 6., …) streben beide Seiten des Graphen nach plus Unendlich oder beide nach minus unendlich. Das wird durch das Vorzeichen des entsprechenden Terms angegeben.
Bei Funktionen mit ungeraden Funktion strebt die Funktion für große positive x-Werte nach +unendlich, wenn das Glied höchsten Grades ein positves Vorzeichen hat bzw. nach -unendlich, wenn es negativ ist. Für negative x-Werte ist es immer genau umgekehrt.
angenommen ich habe folgende Funktionsterme:
f(x)= x³+2x²+2x+1
und
f(x)=-3xhoch4+3x³-x+1
(Wenn ich wissen wollen würde ob die beiden Graphen einen
Schnittpunkt hätten müsste ich beide Funktionen gleichsetzten
einen Punkt einsetzten und nach x auflösen, um dann x alleine
zu bekommen die Wurzel ziehen und das Ergebnis in ein von den
beiden Funktionen setzen und nach f(x) auflösen?)
ja.
x³+2x²+2x+1 = -3x^4 + 3x²-x+1
3x^4 - 2x³ + 2x² + 3x = 0
Falls x=0 ist sind die beiden Funktionen gleich (jeweils +1). Wir haben also schon die erste Lösung (0; 1) erraten.
Falls das nicht der Fall sein sollte, dürfen wir durch x teilen:
3x³ - 2x² + 2x + 3 = 0 (*)
Das ist eine Gleichung 3. Grades. Die sind schon ziemlich blöd zu lösen. Manchmal findet man durch Probieren eine Lösung. Hier finde ich keine einfache Lösung. Solche Dinge löst man am einfachsten numerisch, z. B. mit dem Newton-Verfahren. Dadurch erhielt ich die Lösung
x = -0,653691506
umgeformt: (x + 0,653691506) = 0
Jetzt kommt die Polynomdivision:
(3x³ - 2x² + 2x + 3):frowning:x+0,6537) = 3 x² - 3,9611x + 4,5893
3x³ + 1,9611x²
--------------
- 3,9611x² + 2x
- 3,9611x² - 2,5893x
----------------------
+ 4,5893 x + 3
+ 4,5893 x + 3,0000
---------------------
0
Es bleibt also noch die Gleichung übrig:
3x² - 3,9611 x + 4,5893 = 0
Das ist eine gemischt quadratische Gleichung, die Du selbst mithilfe der Mitternachtsformel lösen kannst. Dann hast Du die Lösungen
x1 = 0
x2 = -0,653691506
x3 = …
x4 = …
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat übrigens jedes Polynom n-ten Grades genau n Lösungen. Diese können jedoch zum Teil komplex sein und müssen auch nicht alle verschieden von einander sein.
Wie Du schon sagtest, kann man nun diese x-Werte in eine Funktionsgleichung einsetzen und die Funktionswerte ausrechnen.
Michael
