Brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3 / e^-x +1
Nähern Sie die Funktion f im Intervall (-1;1) durch eine lineare Funktion an.
Ich hab keine Ahnung wie ich anfangen soll. Bitte helft mir, brauche die Lösung bis morgen.
Thx im voraus.
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3 / e^-x +1
Nähern Sie die Funktion f im Intervall (-1;1) durch eine
lineare Funktion an.
Die Angabe „im im Intervall (-1;1)“ ist natürlich etwas ungenau.
A) Soll die angenäherte Funktion bei x=-1 und bei x=1 exakt mit der Ausgangsfunktion übereinstimmen?
Dann wäre die Lösung A:
Berechne die Funktionswerte bei x=1 und x=-1:
f(1) = 3/e^-1 + 1 = 3*e + 1
f(-1) = 3/e^1 + 1 = 3/e + 1
Dazwischen wird linearisiert:
Berechnung der Steigung: (y2-y1)/(x2-x1)
m=((3*e + 1)+(3/e + 1))/(1-(-1)) = ((3*e + 1)+(3/e + 1))/2
bei x=-1 muss sich y=3/e + 1 ergeben:
Näherung f~(x) = m*(x+1)+(3/e + 1)
also f~(x) = (((3*e + 1)+(3/e + 1))/2)*(x+1)+(3/e + 1)
Ausklammern schafft vielleicht noch Vereinfachung.
B) Soll der Funktionswert bei x=0 durch f(0) gehen?
Dann bildet man die Ableitung
f’(x)= 3*e^x und benützt diese im Punkt Null als Steigung für die Linearisierung:
m=f’(0)=3*e^0=3
Die Ausgangsfunktion im Punkt Null:
f(0)=3/e^0 + 1 = 3 + 1 = 4
Und die Näherung:
f~(x)=f(0)+f’(0)*(x-0)= 4+3*x
Da es so schön einfach klingt, ist wahrscheinlich Lösung B gemeint.
Man kann sich aber noch allerlei andere Lösungen ausdenken, die die unpräzise gestellte Aufgabe erfüllen.
z.B. Linearisiere so, dass der mittlere quadratische Fehler zwischen Ausgangsfunktion und Näherung im angegebenen Intervall minimal wird.
Das führt hier aber zu weit…
Vielen Dank
Ich glaube die angenäherte Funktion soll genau bei x=-1 und x=1 mit der Ausgangsfunktion übereinstimmen.
Also müsste dein erster Lösungsweg stimmen.
Tut mir leid, kann ich dir gerade auch nicht weiterhelfen, zumal es jetzt wahrscheinlich sowieso zu spät wäre 
Sorry aber habe gerade erst meine mails abgefragt, und kann da auf die schnelle auch nicht helfen.
Viele grüße
A.
Sorry! Weder Grafiktaschenrechner noch ähnliches zur Hand! Und Gymmi ewig her…
Trotzdem per-Hand-Versuch:
e^0=1;e^1=e=2,7…;e^-1=1/2,7…=0,37
#2# Moment mal: meinst Du
f(x)= 3 / e^-x +1
oder 3/(e^-x +1)
oder wahrscheinlich eher
f(x)= 3 /(e^-x -1) mit Unendlichkeits-Stelle bei 0…
Sorry! Weder Grafiktaschenrechner noch ähnliches zur Hand! Und Gymmi ewig her…
Trotzdem per-Hand-Versuch:
e^0=1;e^1=e=2,7…;e^-1=1/2,7…=0,37
#2# Moment mal: meinst Du
f(x)= 3 / e^-x +1
oder 3/(e^-x +1)
oder wahrscheinlich eher
f(x)= 3 /(e^-x -1) mit unendlichkeitsstelle bei 0…