Funktionsgleichung aufstellen

Wissenschaft Physik
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Hallo,

ich hab hier eine Aufgabe, wo ich absolut nicht weiterkomme. Wir mussten das damals einfach nur in Taschenrechner eingeben und haben die Unbekannten a, b und c erhalten. Meine Schwester hat einen neuen Lehrplan und sie müssen es ohne Taschenrechner herausbekommen. Kann mir da jemand helfen?
Hier die Aufgabe:

"Ein Töpfer stellt Schüsseln her, die er zum Preis p = 2,25 € pro Stück an einen Großhändler abgibt. Er kann täglich bis zu 90 Stück produzieren.
Solange er 40 Stück und weniger produziert, berechnen sich die Gesamtkosten nach der Gleichung:

K (x) = - 1/80 x² + 3/2 x + 20

Für x > 40 ist die Gesamtkostenkurve eine Parabel 2. Ordnung, die sich an den Graphen für 0 ≤ x ≤ 40 ohne Knick anschließt. Die Kosten für 60 Stück betragen 80,00 €.

Bestimmen Sie die Gleichung der Kostenkurve für x > 40.
Ermitteln Sie Gleichungen für den Gewinn bei den entsprechenden Kosten.
Bei welcher Stückzahl arbeitet der Töpfer mit Gewinn, und bei welcher Stückzahl ist er am größten.
Welchen Wert nimmt der Gewinn dort an?
Stellen Sie das Gesamtproblem graphisch dar.
Wie lässt sich graphisch ermitteln, bei welcher Stückzahl die Stückkosten am geringsten sind?"

Grüßle

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hi,

"Ein Töpfer stellt Schüsseln her, die er zum Preis p = 2,25
€ pro Stück an einen Großhändler abgibt. Er kann
täglich bis zu 90 Stück produzieren.
Solange er 40 Stück und weniger produziert, berechnen sich die
Gesamtkosten nach der Gleichung:

K (x) = - 1/80 x² + 3/2 x + 20

Für x > 40 ist die Gesamtkostenkurve eine Parabel 2.
Ordnung, die sich an den Graphen für 0 ≤ x ≤ 40
ohne Knick anschließt. Die Kosten für 60 Stück betragen 80,00
€.

Bestimmen Sie die Gleichung der Kostenkurve für x > 40.

tja. du brauchst insgesamt einmal die gesamte kostenfunktion. für x 40.
dann ist bekannt:
y = ax² + bx + c
y’(40) = 1/2
y(40) = 60
y(60) = 80

also:
2a * 40 + b = 1/2
a * 1600 + b * 40 + c = 60
a * 3600 + b * 60 + c = 80

das sind 3 gleichungen für 3 unbekannte. die löst du bzw. deine schwester und hast dann die kostenfunktion für x > 40.

Ermitteln Sie Gleichungen für den Gewinn bei den
entsprechenden Kosten.

Gewinn(x) = Einnahmen(x) - Kosten(x)
bzw.
G(x) = E(x) - K(x)

wobei du das immer teilen musst in den bereich x 40.

E(x) = 2,25 * x = 9x/4

Bei welcher Stückzahl arbeitet der Töpfer mit Gewinn, und bei
welcher Stückzahl ist er am größten.

die frage ist, ab wann G(x) > 0 ist; also letztlich die frage nach der nullstelle der gewinnfunktion.
die zweite frage ist die frage nach der maximierung des gewinns, also:
G’(x) = 0

Welchen Wert nimmt der Gewinn dort an?

du bekommst dann einen x-wert und benötigst dort dann G(x)

Stellen Sie das Gesamtproblem graphisch dar.

ich schlage vor: die gesamte einnahmenkurve zeichnen (eine gerade durch den koordinatenursprung); die gesamte kostenkurve zeichnen (in den zwei teilen, jeweils parabeln) und den bereich dazwischen als gewinn („schwarz“) bzw. verlust („rot“) schraffieren. oder so.

Wie lässt sich graphisch ermitteln, bei welcher Stückzahl die
Stückkosten am geringsten sind?"

stückkosten sind gesamtkosten K(x) durch die stückzahl x, also K(x)/x ableiten und gleich 0 setzen.

schaut mal, wie weit ihr kommt …

hth
m.

3

hallöchen,
danke für den lösungsansatz. aber genau bei den drei gleichungen liegt mein problem. die habe ich ja auch noch herausbekommen:

2a * 40 + b = 1/2
a * 1600 + b * 40 + c = 60
a * 3600 + b * 60 + c = 80

nur wie bekomme ich a, b, c ohne taschenrechner heraus? is sicher eine simple lösung, aber ich komm nicht drauf…

Gruß

4

hi,

2a * 40 + b = 1/2
a * 1600 + b * 40 + c = 60
a * 3600 + b * 60 + c = 80

eliminieren oder substituieren.

bezeichnen wir die 3 gleichungen mit

I: 2a \* 40 + b = 1/2
II: a \* 1600 + b \* 40 + c = 60
III: a \* 3600 + b \* 60 + c = 80

dann kannst du die unbekannte c eliminieren, indem du die gleichung II von der gleichung III abziehst:
2000 a + 20 b = 20

das kann man dann durch 20 dividieren:
100 a + b = 1

und jetzt kannst du diese gleichung mit der gleichung I analog behandeln.

hth
m.