Funktionsschar

Wissenschaft Mathematik
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Hallo, ich habe eine ganz dringende Aufgabe zu lösen. Hab auch einen Ansatz. Hoffe, jemand kann mir helfen.

Also:
Untersuchen sie die Funktionsschar:
ft(x)=tx^2+e^-x

1.keine Symmetrie

  1. Verhalten im Unendlichen
    x gegen Unendlich: f(x)= tx^2 oder f(x)= unendlich
    Was von den beiden stimmt???

  2. ft(x)=tx^2+e^-x=0
    Es hat keine Nullstellen, aber wie kann ich das erklären???

  3. Ableitungen
    ft´(x)= 2tx-e^-x
    ft´´(x)= 2t+e^-x
    ft´´´(x)= -e^-x
    Wie komme ich auf die Extremstellen und Wendestellen???
    Ich weiß, dass man bei den Extremstellen die 1. Ableitung =0 setzen muss, aber wie komme ich auf x???
    Ich weiß, dass man bei den Wendestellen die 2. Ableitung =0 setzen muss, aber wie komme ich auf x???

Hoffe, jemand kann mir da weiterhelfen.
Bedanke mich für jede Hilfe im Voraus!!!
LG Tina

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Hi Tina !

Untersuchen sie die Funktionsschar:
ft(x)=tx^2+e^-x

1.keine Symmetrie

Zumindest ist keine erkennbar.

  1. Verhalten im Unendlichen
    x gegen Unendlich: f(x)= tx^2 oder f(x)= unendlich
    Was von den beiden stimmt???

Keins von beiden. Du könntest sagen ft(x) geht gegen plus oder minus unendlich, je nach Vorzeichen von t. Noch genauer ist:
ft(x) geht gegen tx2
Die Parabel tx2 ist praktisch die schiefe Asymptote für x gegen unendlich.

  1. ft(x)=tx^2+e^-x=0
    Es hat keine Nullstellen, aber wie kann ich das erklären???

Ob ft Nullstellen hat oder nicht hängt von t ab. Wenn t≥0 ist dann gibt es keine Nullstellen, denn e-x ist immer positiv und tx2 kann dann nicht negativ werden.
Für t -unendlich => ft(x) -> unendlich
x -> unendlich => ft(x) -> -unendlich
Damit muss ft als stetige Funktion mindestens eine Nullstelle haben. Die zu finden ist aber nicht ganz so einfach.

  1. Ableitungen
    ft´(x)= 2tx-e^-x
    ft´´(x)= 2t+e^-x
    ft´´´(x)= -e^-x
    Wie komme ich auf die Extremstellen und Wendestellen???
    Ich weiß, dass man bei den Extremstellen die 1. Ableitung =0
    setzen muss, aber wie komme ich auf x???
    Ich weiß, dass man bei den Wendestellen die 2. Ableitung =0
    setzen muss, aber wie komme ich auf x???

Um die Gleichung 2tx-e-x=0 zu lösen gibt es meines Wissens kein analytisches Verfahren. Falls t=0 ist gibt es keine Lösung. Für t≠0 kannst du umformen zu

xe^x=\frac{1}{2t}

und dann die Lambert’sche W-Funktion zu Hilfe nehmen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

Die Gleichung 2t+e-x=0 hat für t=0 keine Lösung und ansonsten kannst du umformen zu

e^x=-\frac{1}{2t}

Falls t>0 ist gibt es keine Lösung, und für tx=\ln\left(-\frac{1}{2t}\right)

Hoffe, jemand kann mir da weiterhelfen.

Hoffe, ich konnte weiterhelfen.
LG

hendrik

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  1. für x gegen unendlich geht die funktion gegen t*x^2,

da der zweite term gegen null geht.

  1. die e-funktion verläuft immer über null, die quadratische funktion hat eine nullstelle im ursprung, wo aber die e-funktion den Wert 1 beisteuert, deshalb keine nullstellen.

  2. Für f’ müsste man 2tx=e^-x setzen, aus dieser gleichung lässt sich x nicht extrahieren, deshalb muss man mit näherungen arbeiten oder einen taschenrechner die arbeit machen lassen. Das gleiche gilt für die zweite ableitung

Mit freundlicher Grüßen

DavidP