Hallo Experten,
am oder vor dem 15.10.2001 war bei wer-weiss-was ein Artikel mit dem folgenden Inhalt. Ich hab versucht ihn im Archiv zu finden, bin dafür aber wohl zu doof. Unter Mathematik bzw Naturwissenschaften hab ich ihn jedenfalls nicht gefunden. Also hab ich ihn aus meinem Speicher gekramt. Damals war er von 'ner Frau.
Angesichts der bevorstehenden WM halte ich den Artikel aber für interessant. Auch wenn die Bemalung der modernen Bälle eher an Tennisbälle erinnert, die Fünf- und Sechsecke hat er noch.
Fußball
Wie viel Fünfecke, wie viel Sechsecke?
Ich versuchs mal.
Sei E die Anzahl aller Ecken, K die Anzahl aller Kanten und F die Anzahl aller Flächen. F5 die Anzahl der Fünfecke und F6 die Anzahl der Sechsecke.
Damit haben wir 5 Unbekannte.
Um auch nur den Schimmer einer Hoffnung auf eine eindeutige Lösung zu haben, brauchen wir 5 Gleichungen.
Hier die erste:
A) F5+F6=F 
Eine zweite liefert der Eulersche Polyedersatz, der besagt, dass
B) E+F=K+2 (Beweis durch Induktion schenk ich mir hier)
Du hast Recht: Aus Symmetriegründen grenzen an jedes Fünfeck fünf Sechsecke und an jedes Sechseck drei Fünfecke und drei Sechsecke.
Außerdem stoßen an jeder Ecke genau drei Flächen zusammen (wären es zwei oder weniger, so wäre es keine Ecke, und wären es vier oder mehr, so müssten die Winkel kleiner als 90 Grad sein, was bei regelmäßigen Fünf- und Sechsecken nicht der Fall ist)
Uns fehlen immer noch drei Gleichungen. Die kriegen wir durch Zählen:
Erstmal zählen wir die Kanten:
An jedes Fünfeck grenzen 5 Kanten, macht insgesamt F5*5; An jedes Sechseck grenzen 6 Kanten, macht F6*6. Da jede Kante an zwei Flächen stößt, haben wir damit jede Kante doppelt gezählt, also:
C) 5*F5+6*F6 = 2*K
Nun zählen wir analog die Ecken. Wieder trägt jedes Fünfeck 5 und jedes Sechseck 6 Ecken bei. Da aber an jede Ecke drei Flächen stoßen, haben wir jede Ecke dreimal gezählt und erhalten:
D) 5*F5+6*F6 = 3*E
Nun gehen wir alle Fünfecke durch und zählen die daran angrenzenden Sechsecke. Das sind 5*F5, da an jedes Fünfeck 5 Sechsecke grenzen. Da andererseits jedes Sechseck an 3 Fünfecke grenzt, haben wir damit jedes Sechseck dreimal gezählt, also
E) 5*F5=3*F6
Nun gehts ans Auflösen:
A) in B) einsetzen:
E+F5+F6=K+2
mit 6 multiplizieren:
6*E+6*F5+6*F6=6K+12
rechts 3*C) einsetzen:
6*E+6*F5+6*F6=15*F5+18*F6+12
aufräumen:
6*E=9*F5+12*F6+12
2*D) links einsetzen:
10*F5+12*F6=9*F5+12*F6+12
aufräumen:
F5=12
juchuu.
E) liefert dann:
F6=20.
Gruß
Pat