Hallo ihr Experten
Ich soll die Gammafunktion erklären (den Schülern). Nur ich weiss
überhaupt nicht bescheid . Kann mir jemand etwas darüber sagen oder mir zeigen wo ich etwas im Netz finde ?
mfg josef
http://www.google.com/search?q=Gamma+Funktion&source…
bzw.
http://www.google.com/search?hl=de&ie=ISO-8859-1&q=G…
Ist sowas wie die allgemeine Fakultät, die auch auf Reelle Zahlen angewendet werden kann.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
ziemlich gramatisch…
Hallo, Josef!
Da ich selbst immer Schwierigkeit mit v.a. Mathematik-Links gehabt habe, schildere ich dir mal eigenes:
Ich habe die Gammafunktion auch sehr spät kennengelernt, und zwar zur Lösung eines praktischen Problems, nämlich des unendlichen „Mäanderproduktes“ 1/2 * 4/3 * 5/6 * 8/7 * * * *.
Eine etwas einfachere „Aufgabe“ ist die Lösung des unendlichen Produktes 3/4 * 8/9 * 15*16 * 24/25 * * * = Prod(1 - 1/n^2), für n von 2 bis unendlich.
Denn dies läßt sich ja auch anschaulich durch binomische Zerlegung lösen. Denn Prod(1-1/n^2) = Prod{(1-b)/n}*{(1+n)/n}, n von 2 bis unendlich = 1/2 * 3/2 * 2/3 * 4/3 * 3/4 * 5/4 **** = 1/2 ******5/4***, wo sich ja ab der anfänglichern 1/2 alles kürzt bis auf den „letzten Bruch“, der, als (n+1)/n gegen 1 geht, wenn n unendlich wächst . Also das "unendliche Ergebnis ist 1/2.
Aber was hat das mit der Gammafunktion zu tun?
Die Gammafunktion ist erstmal eine Funktion, d.h. man kann mit ihr Funktionswerte berechnen. Sie ist die „fundamentalste“ Funktion der Mathematik, noch fundamentaler als die mit ihr verwandte Exponentialfunktion y = e^x.
Sie ist glz eine Integral und ein unendliches Produkt, und als letzteres verwandt mit der Fakultät, die du vielleicht von den nmatürlichen Zahlen kennst:
Z.B. 5! (=„fünf Fakultät“) = 1*2*3*4*5 = 120, das Produkt aller natürlichen Zahlen bis 5. Logischerweise wäre also Gamma(5) = 120, weil ja Gamma(x) das Produkt der „natürlichen Zahlen bis x ist“.
Aber e r s t e n s muß ja x keine natürliche Zahl sein, sondern
z.B. x = 4,372; und man könnte nun Gamma definieren als Produkt 1*2*3*4, weil es die natürlichen Zahlen bis 4,372 sind. Aber dann wäre ja Gamma(4,372) = Gamma(4,162) !!! Tatsächlich hat man (Leute wie Euler) es aber so definiert: 4,732*3,732*2,732*1.732* ? Ja, mal was?
Da hilft nun die sog.: „Funktionalgleichung“ der Gammafunktion, die sich schon aus der Frage 5! = ? ergibt. Denn 5! = 5*4! = 5*4*3!
Also wäre x! = x*(x-1)!
Und nun ist man da z w e i t e n s bei der Festlegung inkonsequent gewesen und hat definiert: n! (im Sinne der Gammafunktion, also Gamma(n) = (n-1)*Gamma(n-1) Da dies zunächst nur eine Definitionssache ist (also bis wohin man zählt), kann man sich da schnell dran gewöhnen.
Konsequuenz:
Gamma(x) = (x-1)*Gamma(x-1) = (x-1)*(x-2)*(x-3)*Gamma(x-3), also in „unserem“ Beispiel: Gamma(4,372) = 3,372*2.372*1,372*Gamma(0,372) = 10,974*Gamma(0,372).
Nun fragt sich natürlich, was Gamma(0,372) ist, bzw. wie man das definiert, denn „das Produkt der (natürlichen ja sowieso nicht) Zahlen bis 0,273“ macht ja nun überhaupt keinen Sinn.
Nun hilft die 2te Definition der Gammafunktion, nämlich die Integralform weiter, die mir verständlich wird, weil mich immer schon die „partielle Integration“ fasziniert hatte.
Denn 5! = Gamma[6] ist ja glz auch das Ergebnis von Int{t^5 *e^[-t] *dt}, von 0 bis unendlich, das sich ja partiell entwickeln läßt als
{-t^5*e^[-t]} + Int{5*t^4*e^-t*dt} = 5*Int{t^4*e^[-t]*dt} = 5*Gamma[5],
denn der partiell „abgespaltete Anteil“ verschwindet ja gegen 0. (Bestätige bitte: -(unendlich)^5*e^[-unendlich] = -0^5*e^[-0] = 0 !!!
Nach diesen (zweckgerichteten) Überlegungen fragt sich also nur:
Was ist Gamma(0,372) = Int{t^[0,273-1]*e^[-t]*dt}, t von 0 bis unendlich. Und dies Ergebnis hat man praktisch zunächst empirisch gefunden. Denn eine Stammfunktion existiert nicht.
Als kleinen „Appetizer“ lag aber bereits der Gammawert von 1/2 vor, als Ergebnis des „Eulerschen Wahrscheinlichkeitsintegrals/Fehlerintegrals“, denn es war bekennt, daß Gamma(1/2) = Int{t^[-1/2]*e^[-t]*dt}, t von 0 bis unendlich, = SqR(pi), aber die Bestätigung dieses Ergebnisses ist mir persönlich immer noch nicht gelungen. Aber es stimmt offensichtlich.
Nun hat man (über die Definitionen von e^x) die Produktform der Gammafunktion noch in ein unendliches Produkt umgewandelt (daß es unenendlich ist wird jetzt verständlich, denn das Integral ist ja auch eine (sogar zweifach) unendliche Summe: weil ein Integral immer eine (infinitesimal) unendliche Summe ist, und weil obendrein die rechte Grenze ja selbst noch unendlich ist - aber die Fläche wird ja auch unendlich schmal, gegen 0).
Und zwar ist man zur Form Gamma(1+x) = lim{(N^x*N!)/Prod[m+x]}, für m von 1 bis N und N gegen unendlich, gekommen.
Anders herum gilt also:
lim{Prod[m+x]} = lim{[N!*N^x]/Gamma[1+x]}, für m bis N und N gegen unendlich.
„Unser obiges Produkt“ P{1-1/n^2}, n von 2 bis unendlich =
P{(n^2 + 2n)/(n+1)^2}, für n von 1 gegunendlich, = P{n*(n+2)/(n+1)^2} ist also laut letzterer Definitionsumformung gleich
(N!*N!*N^2)/(N!^2*N^2*1)*{Gamma[2]/Gamma[3]}, wo ich die beiden Gammafunktionswerte schon separat herausgezogen habe, = 1/{Gamma[2]*Gamma[3]}.
Und Gamma[2] = 1! und Gamma[3] = 2!, also Ergebnis = 1/2 wzzw.
Etwas „professioneller“ (theoretischer, „gramatischer“) wird es bei dem sog. „Wallisschen Produkt“, nämlich 1/4 * 9/16 * 25/36 * 6, dies alklerdings unendlich langgezogen und am Ende immer mit dem letzten Nenner „abgerundet“ (der bloßen Wurzel, also eben nicht *36, sondern *6), als algebraische Formel Prod{(2n-1)*(2n+1)/(4n^2)}, das man ja kürzen kann (mit der Zahl 2) zu Prod{n-1/2)*(n+1/2)/n^2}, und das gibt „grammatisch entwickelt“ 1/{Gamma[1/2]*Gamma[3/2]} = 1/{Gamma[1/2]*[1/2]*Gamma[1/2]} = 2/Gamma[1/2]^2 = 2/pi.
Der Herr Wallis (ein Schotte) hatte dies Ergebnis allerdings schon ohne Gammafunktion errechnet, durch eine Vorform der „partiellen Integration“, kurz nachdem Amerika entdeckt wurde.
Mein „Mäanderprodukt“ stellte sich als „grammatisch“ ganz einfach zu berechnendes Ding heraus!
M = Prod{(4n-3)*(4n)}/{(4n-2)*(4n-1} über kürzen mit 4*4 = Prod{(n-3/4)*n/(n-1/2)*(n-1/4} =
Gamma[1/2]*Gamma[3/4]/Gamma[1/4] = ~0,599…
Kleiner Tip: beschränke dich bei deinen „Erklärungen“ der Gammafunktion auf die „Fakultät“ von Dezimalzahlen, und halte einfach Gamma(0,372) als „Wunder“ offen!!! Damit da zumindest eine „Ahnung“ rüberkommt und auch bleibt!!
Herzliche Grüße, moin, manni
P.S.: Ich bin über die Gammafunktion von „meinem Mäanderprodukt“ schließlich zu Geheimnissen der Riemannschen Zetafunktion gekommen, und hieran am ewigen Weiterforschen!
Und hatte als ca 16jähriger schon die „Taylorrreihe“ mithilfe einer zunächst bloßen Spielerei mit der partiellen Integration nacherfunden!
Kennst du dich vielleicht ein wenig mit der Zetafunktion aus?
(Zeta(2) ist z.B. die unendliche Summe(1/n^2) = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+++++) Mithilfe der Methode 1+2 = lim{n*[1-(1-x*n)*(1-2x/n)]}
für x gegen 0 habe ich diese unendliche Summe erstmal in ein unendliches Produkt verwandelt un dann mithilfe der Gammafunktion und der Regel von de l´Hôpital gelöst!
oh-- vielen dank in voraus, muss alles erst lesen und verarbeiten aber besten Dank für deine viele Schreibarbeit und verständliche Schreibarbeit.