Gammafunktion - Legendresche Verdopplungsformel

[Catrin]

Liebe Mathefreunde,
ich bereite mich auf einen Vortrag über die Gammafunktion vor und habe in Olver, Frank: Asymptotics an Special Functions aus dem Jahr 1997 eine Beweisskizze für die Legendresche Verdopplungsformel gefunden. Ich habe damit Probleme, die ich als Bild angehangen habe. Kennt sich jemand damit aus und kann meinen Denkfehler identifizieren? Ich wäre sehr happy, da ich mich schon zwei Tage damit rumquäle.
Ich freie mich auf eure Antworten.
Herzliche Grüße
Catrin

[Metapher]

Hi Catrin,
ich nehme an, es geht dir um den Beseis für die

@Catrin

Legendresche Verdopplungsformel

In deinem Text schreibst du

Γ(2z) = […]

Es ist aber

Γ(2z) = lim_1→∞ […]

Warum in der Gaußschen Multiplikationformel für Γ(2z) n durch 2n ersetzt ist, weiß ich nicht. Es ist natürlich nicht intuitiv einsichtig. Es müsste sich daraus ergeben, wie die Formel für Γ(z) hergeleitet wurde. Ich finde die Herleitung nirgendwo. In einer Formelsammlung finde ich jedoch

Γ(2z) = lim_n→∞ ​n!⋅(2n)^2z/ (2z)⋅(2z+1)⋅(2z+2)⋅…⋅(2z+n)​

Ist wohl nicht ganz dasselbe wie in deinem Buch

Einen anderen Beweis für die Verdopplingsformel gibt es → hier (unter 3.3)

Gruß
Metapher

[Metapher]

addendm

Sorry, die von mir angegeben lim-Drstellung von Γ(2z) ist falsch. Deine ist natürlich korrekt.

Die intuitiv nicht einsichtige Ersetzung n → 2n könnte damit zusammenhängen, daß bei der Herleitung irgendwie die Eulersche Betafunktion verwendet wird.

B(x,y) = Γ(x) · Γ(y) / Γ(x+y) → B(z,z) = Γ(z) · Γ(z) / Γ(2z)

[Catrin]

Danke, dass du dich wieder gemeldet hast.
Das Problem des Ergebnisses hab ich klären können, denn zu dem Faktor, der bei mir noch übrig bleibt, tausche ich das n in den Zähler und der GW dieses Faktors wird dann 1. bleibt nur die Frage der Verdopplung des n.
Den anderen Beweis habe ich auch vorliegen, verstehe ihn aber nicht gänzlich.
Herzlich
Catrin

[Der_Namenlose]

Hallo @Catrin,
in der von dir benutzten Rechnung wurde natürlich n durch 2n ersetzt, damit

sich die 2n Faktoren so schön wegheben. Olver benutzt hier einen Rechentrick. Die Multiplikationsformel gilt ja im Limes n gegen oo. Ob du nun n oder 2n schreibst, das ist dann gänzlich egal. Eigentlich gibt es also zwei Multiplikationsformeln, eine mit n und eine mit 2n. Beide liefern durch den Limes die gleiche Gammafunktion. Du könntest n auch durch 3n oder n/4 ersetzen, immer käme durch den Limes das gleiche heraus. Olver benutzt halt einmal die Formel mit n und einmal die Version mit 2n, sodass die Rechnung schnell aufgeht. Wenn du bei n bleibst, dann bleiben lauter Faktoren – genau gesagt n viele – stehen. Deren Produkt wird im Limes n gegen oo aber Eins ergeben, sodass das gleiche Ergebnis herauskommt. Ich hänge dir ein Bild an, das den Weg skizziert, wie man nachweisen könnte, dass die beiden Multiplikationsformeln das gleiche liefern.

Liebe Grüße
vom Namenlosen