Hallo zusammen,
Warum schneidet der Graph einer ganzrationalen Funktion von ungeradem grad die x-Achse mindestens einmal?
Wie kann man das Begründen?
LG
Hallo,
Wie kann man das Begründen?
(-x) * (-x) = ?
(-x) * (-x) * (-x) = ?
Wenn Du Dir das ausrechnest, sollte die Frage beantwortet sein - oder?
Gandalf
Überleg dir was bei einer ganzrationalen Funktion ungeraden Grades passiert wenn du x gegen unendlich bzw. gegen minus unendlich gehen lässt.
Außerdem sind ganzrationale Funktionen stetig, und den Rest besorgt der Zwischenwertsatz.
Falls das zu unkonkret war, einfach nochmal schreiben.
hendrik
Hallo,
(-x) * (-x) = x²
(-x) * (-x) * (-x) = -x³
ähm nein
LG
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Falls das zu unkonkret war, einfach nochmal schreiben.
hendrik
Also kann man das Schneiden der X Achse was mindestens einmal vorkommt, mit dem Fernverhalten Begründen?
Beispiel Funktion 1:
Strebt x in Richtung - unendlich gegen F(x) in Richtung - unendlich und
x in Richtung + unendlich gegen f(x) in Richtung + unendlich
dann schneidet die Funktion die X Achse einmal. (Bei der Funktion F(x)= x³ wäre das so und zwar genau am Sattelpunkt.)
Beispiel Funktion 2:
Strebt x in Richtung - unendlich gegen F(x) in Richtung + unendlich und
x in Richtung + unendlich gegen f(x) in Richtung + unendlich
dann schneidet die Funktion die X Achse zweimal. (Bei x^4 wäre das dann so.)
Richtig?
Aber was ist wenn ich f(x)=x hätte der Graph würde dann wie bei x³ aussehen oder? (wegen der unsichbaren 1 die ungerade ist…)
LG
Also kann man das Schneiden der X Achse was mindestens einmal
vorkommt, mit dem Fernverhalten Begründen?
Ja.
Beispiel Funktion 2:
Strebt x in Richtung - unendlich gegen F(x) in Richtung +
unendlich und
x in Richtung + unendlich gegen f(x) in Richtung + unendlichdann schneidet die Funktion die X Achse zweimal. (Bei x^4 wäre
das dann so.)Richtig?
Wenn f(x) sowohl links (also bei x gegen - unendlich) als auch rechts (x gegen + unendlich) gegen unendlich strebt, kann es sein, dass die Funktion die x-Achse gar nicht schneidet und somit komplett oberhalb der x-Achse verläuft. Falls f die x-Achse einmal schneidet (und damit negativ wird), muss sie sie noch ein weiteres Mal schneiden, damit sie wieder positiv werden kann. Eine Funktion die links und rechts positiv ist, muss die x-Achse also geradzahlig oft schneiden.
Genauso muss eine Funktion die links und rechts negativ ist die x-Achse geradzahlig oft schneiden.
f(x)=x^4 hat zwar nur eine Nullstelle, das ist aber eine vierfache, also praktisch vier Nullstellen die aufeinander liegen.
Bei ganzrationalen Funktionen ungeraden Grades ist es nun so, dass die Funktion links gegen + und rechts gegen - unendlich strebt oder umgekehrt, auf jeden Fall strebt sie links und rechts in verschiedene Richtungen. Das bedeutet, dass sie auf jeden Fall mindestens eine Nullstelle haben muss um von + nach - bzw. von - nach + zu kommen.
Wieviele Nullstellen eine ganzrationale Funktion genau hat kann man a priori gar nicht sagen, es können aber höchstens so viele sein wie der Grad der Funktion, und zwar mit Vielfachheiten gezählt. (f(x)=x^4 hatte ja z.B. eine Nullstelle 4. Ordnung bei x=0, kann also keine weitere mehr haben)
Aber was ist wenn ich f(x)=x hätte der Graph würde dann wie
bei x³ aussehen oder? (wegen der unsichbaren 1 die ungerade
ist…)
f(x)=x ist die erste Winkelhalbierende.
LG
Danke für die rasche und ausführliche Antwort.
(Ist ziemlich schwierig sich das zu verbildlichen =D)
Wieviele Nullstellen eine ganzrationale Funktion genau hat
kann man a priori gar nicht sagen, es können aber höchstens so
viele sein wie der Grad der Funktion, und zwar mit
Vielfachheiten gezählt. (f(x)=x^4 hatte ja z.B. eine
Nullstelle 4. Ordnung bei x=0, kann also keine weitere mehr
haben)
Schade, das war bei linearen und quadratischen Funktionen aber einfacher mit dem Achsenabschnitt B den man ablesen konnte. 
)
f(x)=x ist die erste Winkelhalbierende.
f(x)=-x ist die zweite Winkelhalbierende. Beides sind Ursprungsgeraden mit der selben Steigung nur umgekehrten Vorzeichen, hab ich das richtig verstanden, dass somit diese beiden Geraden quasi das Koordianensystem mit den vier Quadranten bilden?
LG
LG
Hallo,
ähm nein
also, für positive x steigen bei großen x die Werte gegen + Unendlich, sowohl bei geraden als auch bei ungeradem Exponenten.
Bei negaiven Werten streben bei geradem Exponenten die Werte auch gegen + Unendlich, bei ungeradem Exponenten gegen minus Unendlich.
Also muß mindestens einmal die x-Achse geschnitten werden
Jetzt klar?
Gandalf