Hallo Leute,
Ich habe ein Brett vor dem Kopf:
Mit welchem Algorithmus lege ich effizient eine Gauss’sche Glockenkurve durch eine Punktwolke?
Merci im voraus,
Puersti
Hallo Leute,
Ich habe ein Brett vor dem Kopf:
Mit welchem Algorithmus lege ich effizient eine Gauss’sche
Glockenkurve durch eine Punktwolke?
- Modell formulieren
Modell ist hier die Gauss-Funktion mit den Parametern µ und s. Wenn die Fläche unter der Kurve nicht genau 1 sein muß, braucht man noch einen Parameter für die Y-Streckung, nennen wir ihn a.
- Summe der Abweichungsquadrate (SAQ) berechnen
Für die gegebenen Parameterwerte (mit halbwegs vernünftigen Schätzwerten anfangen) werden die Abweichungsquadrate von jedem Datenpunkt (x/y) und nach dem Modell berechneten Datenpunkt (x/y’) berechnet: D = (y-y’)². Für n Datenpunkte werden also n Abweichungsquadrate berechnet. Diese n Werte werden alle addiert: SAQ = Summe(D), das ergibt die Summe der Abweichungsquadrate.
- Minimierung der SAQ
Nach verschiedenen Verfahren werden die Werte der Parameter nun so optimiert, dass die SAQ minimal wird. Gute Algorithmen dafür sind zB. die Simplex-Methode oder die Levenberg-Marquard-Methode. Zu diesen googelst du am besten. In Excel nimmt man den Solver, um den SAQ-Wert zu minimieren. Ich glaube, Excel verwendet die Simplex-Methode.
-
Nach der Minimierung der SAQ kontrollieren, dass die Parameter sinnvoll sind.
-
Die so optimierten Parameter beschreiben den least-squares-fit der Funktion als maximum-likelihood-Schätzer.
LG
Jochen
Merci im voraus,
Puersti
Hallo Jochen,
- Minimierung der SAQ
Nach verschiedenen Verfahren werden die Werte der Parameter
nun so optimiert, dass die SAQ minimal wird. Gute Algorithmen
dafür sind zB. die Simplex-Methode oder die
Levenberg-Marquard-Methode. Zu diesen googelst du am besten.
Jawohl, Levenberg-Marquardt ist das Stichwort. Danke!
Einen schoenen Tag noch,
Puersti
Hallo,
Jawohl, Levenberg-Marquardt ist das Stichwort. Danke!
Levenberg-Marquardt funktioniert nur bei einigermaßen gutmütigen und glatten Funktionen, außerdem musst Du die 1. Ableitung berechnen können. Die anderen Verfahren (Simplex, Monte-Carlo usw.) funktionieren fast immer, sind aber rechenaufwändiger. Aber mit modernen PCs ist das eigentlich kein Thema mehr.
Olaf
Ich denke, falls die Punktwolke wirklich Gaußverteilt ist, ist es am einfachsten und robustesten, direkt Mittelwert und Streuung der Punktwolke zu berechnen (das sind die beiden Parameter der Gaußkurve).
Grüße,
Hinn
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]