Gauss'scher Algorithmus hae? for Dummies please!

[Anonym]

Hallo Zahlenfreaks,

ich habe schulischerweise die Ehre mich mit
einem sog. gauss’schen Algorithmus zu beschaeftigen.

Nun, ich bin vom Wissen her, auf den Stand eines 12. Klasse FOS-Schuelers …will heissen,
bis zur Stetigkeit einer Funktion hab ich
mich schon vorgearbeitet … danach wirds
dunkel

Die Infos auf div. Homepages sind leider
alle entweder extrem speziell (formuliert) oder aber komplett in lateinisch

Kann mir jemand mit (mathematisch) einfachen
Mitteln erklaeren, was der gauss-algorithmus
ist, wie man ihn sich verbildlichen kann und
welche Schlussfolgerungen man daraus ziehen kann.

Ich danke jetzt schon mal, bitte helft mir!
*auf_knien_rutsch*

bye,
schubi

[Anonym]

hi…

Kann mir jemand mit (mathematisch)
einfachen
Mitteln erklaeren, was der
gauss-algorithmus
ist, wie man ihn sich verbildlichen kann
und
welche Schlussfolgerungen man daraus
ziehen kann.

ich kanns ja mal versuchen:
der gauss-algo ist ein sogenanntes eliminationsverfahren fuer linerare gleichungssysteme.
d.h: du hast eine anzahl von gleichungen vorliegen mit genau der gleichen anzahl von unbekannten. und um die loesungen zu berechnen, kannst du das entweder per hand machen (stelle 4. glg nach x4 um und setze ein in 2. glg, dann…) oder du nimmst dir zb diesen gauss. kleines zahlenbsp:
3x1+2x2+x3=10
2x1-2x2+3x3=7
4x1+3x2-x3=7
fuer alle x1/2/3 sollen diesen glgs gelten.
aus den koeffizienten ergibt sich eine matrix:
3 2 1
2 -2 3
4 3 -1
die erweiterte matrix hat in der vierten spalte den loesunngsvektor(10/7/7) zu stehen. diese musst durch umformungen auf eine obere rechte dreiecksmatrix (alle elemente unterhalb diagonale =0) bringen:
dazu 1: fuer jedes element einer zeile: zeile3 durch zeile3-4/3*zeile1 ersetzen
(4–>4-4/3*3;3–>3-4/3*2,-1–>-1-4/3*1,7–>7-4/3*10)
dadurch kommst du auf:
3 2 1 10
2 -2 3 7
0 1/3 -7/3 -19/3
allgemein gesagt hast du gerechnet:
a[n][i]=a[n][i]-a[n][1]/a[1][1]*a[1][i]
i laesst du von 1 bis anzahl der spalten laufen (hier i=1,2,3,4)
n ist die anzahl der zeilen
das selbe verfahren machst du auch fuer die 2. zeile, allgemein: solange, bis alles unterhalb von a[1][1] 0 ist.
sollte dann so aussehen:
3 2 1 10
0 -10/3 7/3 1/3
0 1/3 -7/3 -19/3
allgemein:
das ganze wiederholst du nun fuer die 2. spalte (i=2,3…), dann fuer die 3…n-1 .
wenn du fertig bist hast folgendes system :
3x1+2x2+x3=10
-10/3x2+7/3x3=1/3
-21/10x3=-63/10
nun kannst du ganz bequem durch rueckwaertseinsetzen deine x1/2/3 ausrechen…

ich hoffe war ausfuehrlich und auch anschaulich…
alle angaben sind ohne gewaehr
tafp

[Anonym]

Hallo,

kleine Anmerkung:
Das ganze funktioniert fuer beliebig viele lineare Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten (jeweils endlich viele). Also nicht nur soviele Unbekannte wie Gleichnungen.

Sherlock

[Anonym]

hi…

ich kanns ja mal versuchen:
der gauss-algo ist ein sogenanntes
eliminationsverfahren fuer linerare

kl. zwischenfrage … was is elimination?
=eleminieren?

gleichungssysteme.
d.h: du hast eine anzahl von gleichungen
vorliegen mit genau der gleichen anzahl
von unbekannten. und um die loesungen zu
berechnen, kannst du das entweder per
hand machen (stelle 4. glg nach x4 um und
setze ein in 2. glg, dann…) oder du
nimmst dir zb diesen gauss. kleines
zahlenbsp:
3x1+2x2+x3=10
2x1-2x2+3x3=7
4x1+3x2-x3=7
fuer alle x1/2/3 sollen diesen glgs
gelten.
aus den koeffizienten ergibt sich eine
matrix:
3 2 1
2 -2 3
4 3 -1
die erweiterte matrix hat in der vierten
spalte den loesunngsvektor(10/7/7) zu

okay, soweit komm ich mit, aber jetzt…

stehen. diese musst durch umformungen auf
eine obere rechte dreiecksmatrix (alle
elemente unterhalb diagonale =0) bringen:

okay, kann ich mir grad noch so vorstellen

dazu 1: fuer jedes element einer zeile:
zeile3 durch zeile3-4/3*zeile1 ersetzen
(4–>4-4/3*3;3–>3-4/3*2,-1–>-1-4/3*1,7–>7-4/3*10)
dadurch kommst du auf:
3 2 1 10
2 -2 3 7
0 1/3 -7/3 -19/3
allgemein gesagt hast du gerechnet:
a[n][i]=a[n][i]-a[n][1]/a[1][1]*a[1][i]
i laesst du von 1 bis anzahl der spalten
laufen (hier i=1,2,3,4)
n ist die anzahl der zeilen
das selbe verfahren machst du auch fuer
die 2. zeile, allgemein: solange, bis
alles unterhalb von a[1][1] 0 ist.
sollte dann so aussehen:
3 2 1 10
0 -10/3 7/3 1/3
0 1/3 -7/3 -19/3

und das (oben) ist schon chinesisch fuer mich.

allgemein:
das ganze wiederholst du nun fuer die 2.
spalte (i=2,3…), dann fuer die 3…n-1
.
wenn du fertig bist hast folgendes system

3x1+2x2+x3=10
-10/3x2+7/3x3=1/3
-21/10x3=-63/10
nun kannst du ganz bequem durch
rueckwaertseinsetzen deine x1/2/3
ausrechen…

was ich nach einem chinesisch-kurs
sicherlich nachvollziehen kann.

ich hoffe war ausfuehrlich und auch
anschaulich…
alle angaben sind ohne gewaehr
tafp

Du merkst sicherlich, dass es bei mir schon
mit dem Thema Matrix hapert. Wuerdest
du so liebenwuerdig *g* sein, und das kurz
anschneiden, oder kann mir vielleicht ein
anderer helfen ???

thx,
bye
schoenes WE

Schubi

[Anonym]

kl. zwischenfrage … was is elimination?
=eleminieren?

Du eleminierst Eintraege in der Matrix zu Null. Das erreichst Du durch Subtraktion der einen Gleichung (siehe Verfahrensbeschreibung weiter oben) mit einem entsprechenden Vielfachen einer anderen Gleichung.

Um sich nicht jedesmal einen Wolf zu schreiben, hat sich die Matrixschreibweise eingebuergert. Ist so schoen praktisch

[…]

und das (oben) ist schon chinesisch fuer
mich.

Tja, es ist hier zugegeben etwas unuebersichtlich. Hast Du kein Mathebuch? Da sollte das eigentlich etwas besser gelayoutet und erklaert sein

Anyhow … das machen man bei Matrizen > 4x4 sowieso nur Masochisten von Hand. Der Gaussche Algorithmus eignet sich naemlich hervorragend zum programmieren.

Noch eleganter wird es, wenn man die Matrix auf Diagonalform bringt, dann stehen nicht nur unterhalb der Diagonalen Nullen, sondern auch oberhalb. Und dann kann man die Loesung direkt ablesen, ohne von Unten nach Oben einsetzen zu muessen …

[…]

Du merkst sicherlich, dass es bei mir
schon
mit dem Thema Matrix hapert. Wuerdest
du so liebenwuerdig *g* sein, und das
kurz
anschneiden, oder kann mir vielleicht ein
anderer helfen ???

Eine Matrix kannst Du Dir fuers erste einfach als Schema vorstellen, Zahlen in einer rechteckigen Anordnung hinzuschreiben.

Hier sind die Zahlen eben die Koeffizienten Deiner Gleichungen …

3x +5y -7z = 12
2x +2y +1z = 0
4x +3x +2z = -5

zum Beispiel ergibt dann eine Matrix

3 5 -7 | 12
2 2 1 | 0
4 3 2 | -5

wobei man meistens rechts und links noch eine grosse Klammer drum macht. Fertig. Das ist alles. Es erspart Dir das ewige aufschreiben der ganzen Gleichungen beim umformen. Und so ein Zahlenschema ist auch eins zwei fix in den Computer eingetippt, der einem dann den Gauss macht

Einen Link habe ich auch noch fuer Dich:

http://www.avena.com/readme/singlepage/matritzen.htm

Gruss

Jens