Hi, ich finde im Netz immer wieder Verweise auf eine Erweiterung des „Divergenzsatzes“ (Das ist für mich einfach der Integralsatz von Gauss…richtig?)von Vektorfeldern auf Tensorfelder.
Das Problem ist, dass es bei diesen Verweisen bleibt^^ ausgeschrieben finde ich den nirgends.
Jemand 'ne Idee? (Link oder Verweis auf eine konkrete Stelle in einem Buch würde auch helfen)
Gruß und Danke schon mal John
(Div(Tensor) bekannt dank wiki)
Hossa 
Hi, ich finde im Netz immer wieder Verweise auf eine
Erweiterung des „Divergenzsatzes“ (Das ist für mich einfach
der Integralsatz von Gauss…richtig?)von Vektorfeldern auf
Tensorfelder.
Es gibt 3 Integralsätze von Gauß:
(1) Gegeben sei ein Vektorveld \vec A(\vec r), darin ein Volumen V mit einer geschlossenen Oberfläche FV, deren Normale nach außen gerichtet sei. Dann gilt folgender Zusammenhang zwischen Oberflächen- und Volumenintegral:
\oint\limits_{F_V}\vec A(\vec r),d\vec f=\int\limits_V\mbox{div},\vec A(\vec r),dV\quad\mbox{oder}\quad
\oint\limits_{F_V}d\vec f,\vec A(\vec r)=\int\limits_V dV,\nabla,\vec A(\vec r)
(2) Setzt man in (1) die spezielle Form \vec A(\vec r)=\vec a\cdot\varphi(\vec r) ein, erhält man den Gauß’schen Satz für skalare Felder:
\oint\limits_{F_V}\varphi(\vec r),d\vec f=\int\limits_V\mbox{grad},\varphi(\vec r),dV\quad\mbox{oder}\quad
\oint\limits_{F_V}d\vec f,\varphi(\vec r)=\int\limits_V dV,\nabla,\varphi(\vec r)
(3) Setzt man in (1) die spezielle Form \vec A(\vec r)=\vec a\times\vec B(\vec r) ein, ergibt sich:
\oint\limits_{F_V}d\vec f\times\vec B(\vec r)=\int\limits_V\mbox{rot},\vec B(\vec r),dV\quad\mbox{oder}\quad
\oint\limits_{F_V}d\vec f\times\vec B(\vec r)=\int\limits_V dV,\nabla\times\vec B(\vec r)
Die Formen rechts neben dem „oder“ habe ich angegeben, um den Kern aller drei Gauß’schen Sätze zu zeigen. Es gilt offenbar:
d\vec f=dV,\nabla
Ein geschlossenes Oberflächenintegral wird mit dem Volumenintegral über die Ableitung des Feldes verknüpft.
Schreibt man die obige Merkregel in Komponenten,
df_i=dV,\frac{\partial}{\partial x_i}
kann man eine Erweiterng auf 4 Dimensionen bereits erahnen:
d^3f_i=d^4V,\frac{\partial}{\partial x_i}
Ob der Gauß’sche Satz auch für mehr als 4 Dimensionen gilt, weiß ich leider nicht. In den Vorlesungen zur Allgemeinen Relativitätstheorie wurde die obige 4-dimensionale Form gelegentlich verwendet.
Viele Grüße
Hasenfuß
Hm also danke schonmal für die Antwort aber entweder ich hab dich nicht verstanden oder mein Frage war zu ungenau^^
Ich suche einen Satz, der etwas über das Integral einer Funktion aussagt die den Bildbereich R^{3X3} hat. Also jedem Punkt in eine Volumen Omega eine 3X3 Matrix zuordnet.
Die Dimension von Omega (auf die du dich ja in der Bemerkung unten beziehst oder?) ist da garnicht das große Problem(glaube ich).
Es könnte in etwa so aussehen:
Sei
A:\Omega \mapsto R^{3 \times 3}
\text{dann gilt:}\
\int_{\delta \Omega}{\vec{n} \cdot A} = \int_{\Omega} div(A)
Die Divergenz eines Tensors ist im Wiki Artikel zur Divergenz definiert. Nur Was in diesem Fall das „Skalarprodukt“ sein könnte ist mir Rätselhaft-.-
Gruß John