Gausscher Algorithmus - leicht erklärt
guten tag,
bitte wer kann mir - schritt für schritt - mit nebenrechnungen…
den „Gausschen Algorithmus“ anhand einem Bündel von 3 Gleichungen erklären.
pivot-ankerpunkt …
zb:
2x + 3y - z = 0
x + 2y + 3z = 7
3x - y + z = 5
inclusive parameterdarstellung der lösung.
ich muss den einstieg in diese materie innerhalb von 3 tagen erledigen.
danke!
Gausscher Algorithmus - leicht erklärt
guten tag,
bitte wer kann mir - schritt für schritt - mit
nebenrechnungen…
den „Gausschen Algorithmus“ anhand einem Bündel von 3
Gleichungen erklären.pivot-ankerpunkt …
zb:
2x + 3y - z = 0
x + 2y + 3z = 7
3x - y + z = 5
Hallo,
ich versuch es so einfach wie möglich, ich werd es mit Matrizen machen, da du ja auch nach Pivot-Drehpunkt gefragt hast und so, und wahrscheinlich nicht mehr die Schulmathematik nacharbeitest.
Dein vorgegebenes Gleichungssystem kann man in Matrizenform folgendermaßen schreiben:
2 3 -1 x = 0 Wobei du dir eben die Klammern für die Matrix,
1 2 3 * y = 7 für die Vektoren denken musst. Mit dem Gauß Algor.
3 -1 1 z = 5 Kann man die Matrix links so zerlegen, dass sich das Gleichungssystem einfach lösen lässt. Am besten wäre dafür natürlich eine obere Dreiecksmatrix, wie diese:
a11 a12 a13 x k Hier kannst du z direkt ablesen, denn ganz
0 a22 a23 * y = l unten steht nix anderes als a33*z=m
0 0 a33 z m also ist z= m/a33
d.h wir müssten deine Matrix in eine solche Form bringen und hätten dann eine Lösung. Wenn wir z haben, können wir das in die 2. Gleichung einsetzen und hätten somit y, z und y wiederum in die 1. Gleichung ergibt x und somit den Lösungsvektor. Solltest du das ganze mit der Gaußschen LR Zerlegung machen, musst du das hier nochmal anmerken, ich zeig dir jetzt das ganze in der einfachsten Grundversion.
Das Lösen erfolgt mit den üblichen Äquivalenzumformungen. Wenn man auf beiden Seiten einer Gleichung alles mit der selben Zahl multipliziert, bzw. auf beiden Seiten eine Zahl addierst, ändert sich
nichts an der Lösungsmenge, das selbe können wir bei Matrizen machen. Außerdem können wir die Reihenfolge der Gleichungen wie du sie angegeben hast ändern, dadurch verändert sich ja auch nix an der Lösungsmenge.
Jetzt guckst du dir die erste Spalte der Matrix an. Es gibt mehrere Lösungswege, ich schlag dir einen vor. Und zwar suchst du dir aus der ersten SPALTE die betragsmäßig kleinste Zahl raus, in diesem Fall die 1 und vertauschst die erste ZEILE mit der 2. (Die Zeile mit dem betragsmäßig kleinsten Wert am Anfang kommt nach ganz oben) Beachte, dass du alles vertauschen musst, auch die anderen beiden Vektoren. Also steht da:
1 2 3 y = 7 Die 1. ist jetzt dein Pivot Drehpunkt oder Angel-
2 3 -1 * x = 0 Punkt. Die Strategie ist, immer die betragsmäßig
3 -1 1 z = 5 kleinste Zahl zu nehmen, deren Zeile man im Entsprechenden Schritt vertauscht, in unserem Fall kommt die Zeile an die 1. Stelle.
Die 1. ist jetzt das Element, worum sich alles dreht. Wir wollen jetzt in der ersten Spalte nur noch
1
0
0
Stehen haben, damit wir an unsere Dreiecksmatrix gelangen. Also multipliziert man die erste Zeile mit -2 und addiert sie zur zweiten. Da sich dadurch der erste Wert der 2. Zeile auslöscht. Die 2. Zeile lautet dann:
0=2 +(-2) -1= -4+3 -7=-6-1 und ganz rechts -14=-14+0
Also:
0 -1 -7 x = -14
Jetzt haben wir die 0 da, wo wir sie wollen. Das selbe machen wir mit der dritten Zeile, wobei da mit -3 multipliziert wird. Die erste Zeile wird so gelassen.
Also steht da:
1 2 3 y = 7
0 -1 -7 * x =-14
0 -7 -8 z = 16
Jetzt haben wir schon fast eine obere Dreiecksmatrix, benötigen nur anstatt der -7 in der 3. Zeile eine 0. Wir machen jetzt das selbe wie oben, nur das wir die 1. Zeile ganz aus dem spiel lassen und nur noch die folgende Teilmatrix betrachten:
-1 -7 * x =-14
-7 -8 z = 16
Der Betragsmäßig größte Wert ist -1(das neue Pivotelement), also müssen wir nichts mehr vertauschen.
Jetzt multipliziert man die 1. Zeile der Teilmatrix mit -7 und addiert sie zur 3. Zeile. Das ergibt:
-1 -7 * x =-14
0 41 z = 82
Insgesamt haben wir also mit Hinzunahme der ursprünglichen ersten Zeile die Matrix umgeformt, so dass jetzt da steht:
1 2 3 y = 7
0 -1 -7 * x =-14
0 0 41 z = 82
oder eben:
1*y +2*x 3*z = 7
-1*x -7*z = -14
41*z = 82
Jetzt können wir das GLS lösen. Man sieht wie oben beschrieben,
dass z=2 ist, setzt man das in die 2. Gleichung ein, kommt x=0 raus und die beiden in der ersten ergeben y=1.
Dh. der Lösungsvektor der ursprünglichen Gleichung ist:
0
1
2
Ich denk die Lösung ist richtig, weil die so einfach ist. Die Lösung ist auch eindeutig, deshalb braucht man auch keine Parameterdarstellung.
Eine Parameterdarstellung würde man benötigen, wenn z.B in der dritten Gleichung 0=0 stehen würde. Hätten somit 2 Gleichungen und 3 Unbekannte, und müssten jeweils 2 in Abhängigkeit von einer darstellen.
Unsere Lösung benötigt aber keine Parameterdarstellung, es sei denn die wäre trivial, mit nem Nullvektor oder so.
Danke fürs Zuhören.
excellent dima es funktioniert prächtig! danke
excellent dima es funktioniert prächtig! danke
Sehr schön! Dann hat sich die Mühe ja gelohnt.