Hallo zusammen,
wie kann ich bei einer Funktion f, definiert auf den reelen Zahlen R und zwar durch
f(x)= [x] + ( x - [x])^(1/2)
zeigen, dass sie streng monoton wachsend ist? Und wie bestimmt man hier eine Umkehrfunktion?
[] soll die Gaußklammer bedeuten.
Mir ist nicht klar, wie ich mit der Gaußklammer umzugehen habe.
Viele Grüße,
Oliver
Gaußklammer in einer Funktion
Hallo, Oliver!
Die Funktion f(x)= [x] + ( x - [x])^(1/2) ist doch nichts weiter als die Zuordnung des Wertes, der sich aus der Addition der bloßen Wurzel des die „letzte ganze Zahl“ übersteigenden Betrages, also zB
f(2,4) = 2 + (0,4)^[1/2].
Und da die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, ist es natürlich auch diese Funktion hier!
Denn die Gaußklammer bedeutet doch: [2,36] = 2 = auch [2,81].
Und f(2,36) = 2 + Wrz[0,36] = 2,6, sowie
f(2,81) = 2 + Wrz[0,81] = 2,9.
Hoffe, dir Klarheit verschafft zu haben,
moin, manni
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Die Funktion f(x)= [x] + ( x - [x])^(1/2) ist doch nichts
weiter als die Zuordnung des Wertes, der sich aus der Addition
der bloßen Wurzel des die „letzte ganze Zahl“ übersteigenden
Betrages, also zB
f(2,4) = 2 + (0,4)^[1/2].
Und da die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, ist es
natürlich auch diese Funktion hier!
Denn die Gaußklammer bedeutet doch: [2,36] = 2 = auch [2,81].
Und f(2,36) = 2 + Wrz[0,36] = 2,6, sowie
f(2,81) = 2 + Wrz[0,81] = 2,9.
Das war mir schon klar, aber wie beweise ich das (ohne Beispiel)?
Und wie funktioniert das mit der Umkehrfunktion?
Viele Grüße,
Oliver
Beweis1
Hallo, Oliver!
Ich hatte gedacht, der Hinweis auf die Monotonität der Wurzelfunktion wäre schon ausreichend Beweis, aber:
Wähle x2 > x1; dann ist:
f(x2) - f(x1) = deltaf =
[x2] + (x2 - [x2])^(1/2) - [x1] - (x1 - [x1])^(1/2) =
[x2] - [x1] + (x2 - [x2])^(1/2) - (x1 - [x1])^(1/2) dabei schon einmal:
[x2] - [x1] >= 0; also:
deltaf > (x2 - [x2])^(1/2) - (x1 - [x1])^(1/2) =
(x2 - [x2]) - (x1 - [x1])}/{(x2 - [x2])^(1/2) + (x1 - [x1])^(1/2)}
(erweitert mit 3tem Binom!!! Ist häufig der Lösungsweg!!!), also:
deltaf >
{x2-x1-([x2]-[x1])}/{(x2-[x2])^(1/2) +(x1-[x1])^(1/2)}>0
denn der Zähler und der Nenner sind beide größer als 0!!
Also: deltax > 0 folgt: deltaf > 0, also stren g monoton steigend!
Die 2te Frage nach der Umkehrfunktion hatte ich erstmal aufgeschoben. Wegen der Eineindeutigkeit existiert sie ja. Scheint mir schwierig. Vielleicht weiß da jemand anderes weiter. Ich schätze, es gibt nur abschnittsweise „geschlossene Funktionen“ hier.
Erstmal will ich den obigen Beweis abschicken!
Ciao, Manni
Korr. ‚Umkehrfunktion‘
Kleine Korrektur:
Hallo, Oliver, die Idee kam mir mit zue Augen, beim Vorstellen der Graphen.
Grundidee: [f(x)] = [x], denn der Zusatz (Klammer) zu [x] ist ja immer
Hallo,
ich danke dir ganz herzlich, da wäre ich nie draufgekommen!
Bei dem Beweis mit der strengen Monotonie habe ich noch eine Fallunterscheidung gemacht.
Viele Grüße und nochmals ganz herzlichen Dank!
Oliver