Hi,
kann mir einer das Gaußsche Eliminationsverfahren für LGS mit mehr Unbekannten als Gleichungen erklären.
Wie ich ein LGS löse, wenn gleich viele Unbekannte wie Gleichungen existieren weiß ich, aber wenn z.B. 3 Gleichungen und 5 Unbekannte auftauchen weiß ich nicht weiter…
Hallo.
kann mir einer das Gaußsche Eliminationsverfahren für LGS mit
mehr Unbekannten als Gleichungen erklären.
Das geht im Grund nicht anders wie im normalen Fall.
Nur, dass ab einer bestimmten Stelle keine eindeutige Gleichung wie z.B. 3x=6, sondern stattdessen (z.B.) 3x+4y = 9 steht. Jetzt kann man einem der Parameter einen zulässigen Wert zuweisen und damit damit den Wert des anderen Parameters errechnen.
Aber evtl. kann man eine Gleichung nach einer der Variablen umstellen und diesen Ausdruck in eine andere Gleichung einsetzen. Und damit genauere Ergebnisse erzielen.
HTH
mfg M.L.
Hm, wie hast du den das Gaußsche Verfahren kennen gelernt? Denn eigentlich macht es ja keinen Sinn den Fall für gleich-viele Gleichungen wie Unbekannte zu behandeln, denn 2x+4y=8 und x+2y=4 sind 2 Gl., 2.Unb. und trotzdem gibt es unendlich viele Lösungen. Denn gibt man ein beliebiges x vor, so ist y=2-x/2 ein dazu gültiges y. Also die Eindeutigkeit der Lösung ist auch hier nicht garantiert.
Hilft dir evtl. dieses Skript weiter? http://www.sbg.ac.at/mat/staff/linhart/LinAlgLehramt…
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Hi Korn,
wenn Du nicht mal sagst, dass die Gleichungen voneinander unabhängig sein müssen, ist niemandem geholfen.
Gruß Ralf
Ich fürchte ich verstehe nicht ganz was du mir sagen willst. Aber vermutlich habe ich mich ein wenig unverstänglich ausgedrückt. Auf was ich hinaus wollte war folgendes.
Man kann die gestellte Frage schlecht beantworten, wenn man nicht weiß, nach welchem Schema Sie das Gaußsche Verfahren kennengelernt hat. Ich vermute aber mal nicht nach dem gängigen Weg über elementare Zeilen-/Spaltenumformungen der zugehörigen Matrix. Wäre dem so, so hätte es keinen Sinn sich auf quadratische Matrizen zu beschränken. Dies würde die Situation nicht vereinfachen. Denn auch in diesem Fall kann es (bei linear abhängigen Spalten, Zeilen, Gleichungen oder wie auch immer) zu einem ganzen Lösungsraum (mit Dimension >= 1) oder aber gar keiner Lösung (etwa x+y = 2, x+y=1) kommen.
Hat Sie demnach das Gaußsche Verfahren nicht über Matrizenumformungen kennengelernt, so wäre es gut zu wissen wie. Denn ansonsten kann man keine brauchbare Antwort abgeben.
Es tut mir Leid, wenn ich mich nebelig ausgedrückt habe.
Schöne Grüße.
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Hi,
das ist völlig wurscht, wie sie das Verfahren kennengelernt hat. Deine Behauptung
2x+4y=8 und x+2y=4 sind 2 Gl.
ist falsch, das ist eine (1) Gleichung, aus der per Division durch 2 ein abhängiger Term erzeugt worden ist. Darauf den guten alten Gauß anzusetzen ist sinn- und zwecklos.
Aber vermutlich habe ich mich ein wenig unverstänglich
ausgedrückt.
Ein wenig? Hier geht es nicht um Fragen der Didaktik.
Gruß Ralf
Hallo Ralf,
das ist völlig wurscht, wie sie das Verfahren kennengelernt hat.
hm… ich finde das von KoRn dazu Gesagte sehr richtig.
Deine Behauptung
2x+4y=8 und x+2y=4 sind 2 Gl.
ist falsch, das ist eine (1) Gleichung, aus der per Division
durch 2 ein abhängiger Term erzeugt worden ist.
Es sind zwei Gleichungen. Auch wenn man hier „sofort sieht“, dass die Gleichungen linear voneinander abhängen – dieser Punkt ist für die Antwort auf die Frage „Wieviele Gleichungen?“ nicht relevant.
Aus diesem Grund sind
2u + 45v – 20w + 43x + 14y = 23
u – 9v + 8w – 7x + y = 1
8u + 33v – 4w + 39x + 28y = 43
2u + 3v + 4w + 5x + 6y = 9
auch vier Gleichungen, und nicht etwa nur zwei.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Moin, Martin,
mit KoRns Überlegung kann die Fragestellerin herleiten, dass x = x und y = y ist. Das Gesicht des Paukers möchte ich sehen, wenn sie das Ergebnis präsentiert.
hm… ich finde das von KoRn dazu Gesagte sehr richtig.
Schön fände ich, wenn es auch noch nützlich für die Fragerin wäre, der ist mit akademischem Quark leider nicht geholfen.
Gruß Ralf
Hallo Ralf,
mit KoRns Überlegung kann die Fragestellerin herleiten, dass x = x
und y = y ist.
*grübel*… das kann ich nicht nachvollziehen. Magst Du das mal genauer erklären, vielleicht anhand eines Beispiels?
hm… ich finde das von KoRn dazu Gesagte sehr richtig.
Schön fände ich, wenn es auch noch nützlich für die Fragerin
wäre, der ist mit akademischem Quark leider nicht geholfen.
Wenn Du eine so abwertende Äußerung nötig hast… *wunder*
Aber vielleicht ist das ja für die Fragestellerin nützlich:
@Lianna Alba: Stell Dir vor, Du hast ein Gleichungssystem mit 6 Gleichungen für 9 Unbekannte (r, s, t, u, v, w, x, y, z), von denen 2 Gleichungen linear von den übrigen 4 abhängen. Dann treffen folgende vier Punkte zu:
(1) Dass ein LGS mit 6 Gleichungen für 9 Unbekannte vorliegt,
ist offensichtlich (einfach nur abzählen).
(2) Dass 2 Gleichungen linear von den übrigen 4 abhängen, ist i. a.
nicht offensichtlich. Um das herauszufinden, muss man rechnen.
(3) Die Dimension des Lösungsunterraums beträgt 9 – (6 – 2) = 5.
Folglich kann man die Lösung in der Form (r, s, t, u) = f (λ1, …, λ5)
mit skalaren λi angeben, wobei f eine lineare Vektorfunktion der
unabhängigen Parameter λ1, …, λ5 ist.
(4) Wendet man das Gaußsche Eliminationsverfahren auf dieses
LGS an, liefert es ganz automatisch die Information „2 Gleichungen
hängen linear von den übrigen 4 ab“, sowie die Funktion f.
So, hoffentlich hab ich damit jetzt nicht mehr Unklarheiten geschaffen, als beseitigt…
Gruß
Martin
Moin, Martin,
inzwischen sind wir bei Re^8 angelangt - ohne jede Rückmeldung von Lianna. Oder anders gesagt, was wir hier treiben, liest keine Sau mehr. Entweder streiten wir dann um Kaisers Bart, oder ist das alles oversized. Schade um die Arbeit, die Du Dir gemacht hast.
Gruß Ralf
Hm, also wenn du diese Frage in drei Sätzen kurz und prägnant beantworten könntest wäre ich dir sehr dankbar. Wieviel Gleichungen kannst du im folgendem Linearen Gleichungssystem erkennen?
( 1 2 ) (x) (3)
( 2 4 ). (y) = (6)
(Wie bei der Bank, in Worten: Die Matrix 1,2,2,4 multipliziert mit dem Vektor (x,y) ergibt den Vektor (3,6)). Meiner Meinung nach sind es zwei Gleichungen und der Lösungsraum ergibt sich zu:
(x, y) = (1,1) + [(-2,1)]
(In Worten: Der affine Vektorraum welcher sich durch die Verschiebung um (1,1) der linearen Hülle von (-2,1) ergibt)
Bzw. kannst du hier deine Antwort „x=x, y=y“ noch einmal näher erleutern? Und ab jetzt bin ich wieder ruhig und setze mich.
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