Hallo, ich habe 3 Fragen zum Gaußschen Eliminationsverfahren:
1.) Wählt man immer 1.Spalte der 1.Zeile um dort durch Umformungen eine 1 zu erreichen? so stehts in meinem Buch drin, in den Mitschriften jedoch teilweise anders. Wenn man immer die 1.Spalte/1.Zeile für diese 1 nimmt kommen manchmal ja krumme Werte raus, allerdings wird das Gaußsche Verfahren ja eigentlich in eine Vorwärts- und einer Rückwärtseliminationsphase (weiß grad die richtigen Begriffe nicht sorry 
) untergliedert…
2.) Falls ich weniger Zeilen als Variablen (n) habe, gibt es ja immer unendlich viele Lösungen soweit ich weiß (ist also linear abhängig), aber bei einer Aufabe kam z.B. raus:
x1 - x2 = 0 —> x1 = x2
x2 + x3 = 0 —> x3 = - x2
damit sei x2 dann freiwählbar und auch einfach durch c (c = x2) ersetzbar —> unendlich viele Lösungen
Aber: warum kann ich die 2. Gleichung nicht in x2 = -x3 umformen z.b.? also woher weiß ich, dass ausgerechnet x2 freiwählbar ist? (ist das so, weil x2 in beiden Gleichungen vorkommt?)
- Was muss man beim ausrechnen einer Koeffizientenmatrix mit Variablen beachten, außer, dass man sich möglichst eine Variable als erstes aussucht, deren Zeile und/oder Spalte frei von anderen Variablen ist? Wir hatten da eine Aufgabe als Beispiel gemacht, bei der das sehr simple war (es kam in der Matrix nichts anderes als die Zahl 1 und die Variable a vor), aber bei den Übungsaufgaben (deren Lösung ich nicht habe) bin ich nie auf eine richtige Lösung gekommen :-/
Vielen Dank für jegliche Hilfe!
Grüße
Hallo,
Zu 1.: Man muss auf keinen Fall immer nur vom Element A(1,1) ausgehen (die Koeffizientenmatrix heißt bei mir immer A), sondern kann sich im Prinzip jedes Element als „Pivotelement“ hernehmen. Die einfachste Modifikation des Gaußverfahrens besteht darin, einfach einige Zeilen zu vertauschen, so dass ein „günstiges“ Element oben steht. Die Lösungsmenge des Systems verändert sich nicht.
Etwas vorsichtiger muss man sein, wenn man Spalten vertauscht. Dann muss man nämlich die Variablne umbenennen, d.h. hat man erste und dritte Spalte vertauscht, so wird die dritte Komponente des Lösungsvektors des modifizierten Systems die erste Komponente des originalen Systems (ohne Spaltenvertauschung) sein. Hat man Spalten vertauscht, so muss man dieselben Vertauschungen auch im Lösungsvektor vornehmen, um die Lösung des anfänglichen Systems korrekt zu erhalten.
Warum macht man sich dann überhaupt die Arbeit? Man kann durch Zeilen- und Spaltenvertauschungen jedes Element an die Stelle (1,1) schaffen. Insbesondere also dasjenige, mit dem man am bequensten und mit möglichst wenig „krummen“ Zahlen die jeweilige Spalte abräumen kann.
Zu 2.: Hat das System weniger Zeilen als Variable, so gibt es immer eine oder mehrere frei wählbare Variable. Aber es steht nirgendwo festgeschrieben, welche das sind! In Deinem Beispiel könntest Du ohne weiteres auch x3 frei wählen. Dann hättest Du
x2 = -x3 und x1 = -x3 .
Alternativ kann man auch x1 als freie Variable wählen:
x2 = x1 , x3 = -x1
Zu 3. weiß ich leider keinen durchschlagenden, in jeder Situation passenden Tipp. Du solltest nur darauf achten, möglichst nicht durch eine der Variablen zu dividieren, es sei denn, Du schließt vorher den Fall aus, das diese Variable gleich Null ist.
Gruß
Marco
Danke, deine Auskünfte haben mir wirklich sehr geholfen, bei den Matrizen mit Variablen komm ich allerdings immer noch nicht so recht weiter :-/.
Könntest du mir bitte mal vorrechnen, wie man bei dieser Aufgabe auf eine (ordentliche) Lösung kommt:
x1 + ax2 - bx3 = 0
- ax1 + x2 - x3 = 0
x1 + bx2 = 0
(Frage: Für welche Werte der Parameter hat das Gl.sys genau 1 / keine / unendlich viele Lösungen) [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]