Hallo,
ich habe ein Problem mit folgender Funktion:
y=x/(x²+4)
Wie kann ich diese Funktion nach x auflösen, um so die Umkehrfunktion zu erhalten?
Vielen Dank im Voraus!
Beste Grüße
alex
zunächst auf beiden Seiten das Reziproke bilden
so erhält man
1/y * x = x^2 + 4
darauf lässt sich die Lösungsformel anwenden.
Matthias
Vielen Dank erstmal!
Aber wie sieht die Lösungsformel aus?
Hallo alex,
um eine Umkehrfunktion angeben zu können muss die Funktion auch wirklich umkehrbar sein - das erfordert u.a., dass unter der Funktion NICHT zwei verschiedene x-Punkte auf den gleichen y-Wert abgebildet werden. Das ist hier leider nicht der Fall. Zum Beispiel landen x= -Wurzel(5)+1 und x=-Wurzel(5)-1 beide auf dem gleichen y=1/Wurzel(20).
Es gibt also gar keine Umkehrfunktion. Nichts desto trotz kann man die (beiden) x-Werte berechnen, die auf ein y abbilden. Dies macht man, indem man obige Gleichung zuerst in die Form
x²- x/y + 4 = 0 bringt und dann die „p-q-Formel“ anwendet. Man erhält
x1 = -1/(2y) + Wurzel(1/(4y²) - 4) und
x2 = -1/(2y) - Wurzel(1/(4y²) - 4).
Gruß Daniel
Hallo Alex,
vertausche x und y, bringe alles auf eine Seite und erhalte eine quadratische Gleichung in y. Dann mit p-q-Formel auflösen. Die beiden Lösungen müssten, wenn ich mich nicht verrechnet habe, sein:
y_1 = \frac{1+\sqrt{1-16x^2}}{2x},
y_2 = \frac{1-\sqrt{1-16x^2}}{2x}
Viele Grüße
Karsten
Vielen herzlichen Dank für die Antwort!
Beste Grüße
alex
Vielen Dank für die Antwort!
Hallo Alex,
Du kannst mit dem Nenner multiplizieren und
x = y(x²+4)
schreiben. Daraus dann
yx² - x + 4 = 0
und das dann mit der pq-Formel nach x auflösen. Allerdings wirst Du erst einmal zwei Lösungen bekommen. Dann ist die Funktion nicht auflösbar, wenn Du nicht gewissen Einschränkungen an x oder y stellst, so dass bei der pq-Formel eine Lösung ausgeschlossen werden kann.
Gruß
Marco
Hallo Alex,
die Funktion ist nicht global umkehrbar; im Intervall [-2,2] allerdings gibt es eine eindeutige Umkehrfunktion (die Extrempunkte sind (-2/-0,25) und (2/0,25)).
Du musst nur die Gleichung auf beiden Seiten mit x²+4 multiplizieren und durch y dividieren:
x²-x/y = -4
Dann haben wir eine quadratische Gleichung, die wie üblich behandelt wird (quadratische Ergänzung):
(x-1/(2y))² = 1/(4y²)-4
x=1/(2y)± Wurzel(1/(4y²)-4)
Man sieht, dass y in [-0,25;+0,25] liegen muss, da sonst der Radikand negativ wird. Um die Sache zu vervollständigen muss noch der Funktionswert für y=0 genannt werden: es ist natürlich 0.
Ich hoffe, du kannst alles nachvollziehen. Eine graphische Darstellung hilft sehr bei der Veranschaulichung.
Gruß, J.Huber