Hallo,
ich (12.Klasse) schreibe eine Facharbeit über die eulersche Zahl und ihre Anwendungen.Ich soll acuh über die Anwendung bei den Schwingungen schreiben.Leider weiß ich weder wie die genaue Funktion dafür heißt noch iwe man auf diese kommt.
Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand helfen könnte.Vielen vielen Dank schonma
Hi Tanja,
ich (12.Klasse) schreibe eine Facharbeit über die eulersche
Zahl und ihre Anwendungen.
Schön!
Ich soll acuh über die Anwendung bei
den Schwingungen schreiben.Leider weiß ich weder wie die
genaue Funktion dafür heißt noch iwe man auf diese kommt.
Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand helfen könnte.Vielen
Ich vermute mal, dass Dein Lehrer auf die exponentielle Abnahme der Schwingungsamplitude hinausmöchte. Schau Dir am besten mal den Abschnitt zur gedämpften Schwingung bei http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung an. Möglicherweise reicht das schon als Anhaltspunkt zum Weitersuchen. Wenn Du Fragen hast, kannst Du ja wiederkommen.
Abschließend möchte ich Dir noch die Schülderduden Mathematik und Physik empfehlen. Da steht zum Thema sicherlich auch einiges drin.
Gruß,
V.
Hallo!
ich (12.Klasse) schreibe eine Facharbeit über die eulersche
Zahl und ihre Anwendungen.Ich soll acuh über die Anwendung bei
den Schwingungen schreiben.Leider weiß ich weder wie die
genaue Funktion dafür heißt noch iwe man auf diese kommt.
Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand helfen könnte.Vielen
Gehen wir mal vom harmonischen Oszillator aus. Nach Grundgleichung der Mechanik gilt für die beschleunigende Kraft F = ma. Die Beschleunigung a ist nichts anderes als die zweite zeitliche Ableitung des Ortes. Deswegen schreibt man in diesem Zusammenhang a = x’’ (eigentlich mit zwei Punkten, aber das lässt der Editor nicht zu). Im Falle des harmonischen Oszillators gilt F = -Dx. Also gehorcht der harmonische Oszillator der Differenzialgleichung
mx’’ + Dx = 0
mit der bekannten Lösung
x(t) = x_max * sin (ωt + φ)
Wenn sich der Körper in einer zähen Flüssigkeit bewegt, kommt noch der Reibungswiderstand hinzu, der in diesem Fall proportional zur Geschwindigkeit ist. (Reibung in Luft oder Gleitreibung auf einer festen Oberfläche ist jeweils erheblich schwieriger zu behandeln!)
Daher lautet nun die DGL:
mx’’ + ρx’ + Dx = 0
Welche Funktion erfüllt nun diese DGL? (Da ihr an der Schule vermutlich nicht über Lösungsstrategien zu Differenzialgleichungen verfügt, erkläre ich es nun ein bisschen handwerklich…)
Alle drei Summanden müssen sich irgendwie sinnvoll gegenseitig aufheben, d. h. x muss folgende Bedingungen erfüllen:
Die zweite Ableitung von x muss so etwas ähnliches sein wie x selbst. Und: Die erste Ableitung von x muss so etwas ähnliches sein wie x selbst. Diese beiden Bedingunge werden von den Winkelfunktionen und von der e-Funktion erfüllt. Nach heftigem Rumprobieren kommt man mal auf die Idee
x(t) = A*exp(-Bt)*sin(Ct + D)
(An der Uni wird dieser Typ der Differenzialgleichung „gewöhnliche homogene lineare DGL zweiter Ordnung“ genannt und ist dort (fast) das einfachste was es gibt. Da hat man dann Lösungswerkzeuge, die besser sind als das reine rumprobieren).
Jetzt wird es hässlich: Man muss die Ableitungen dieser Funktion bilden und in die DGL einsetzen (Das gibt ziemlich längliche Terme…). Durch Koeffizientenvergleich kriegt man dann die Konstanten B und C raus. Die kannst Du aber auch in jeder einschlägigen Formelsammlung nachlesen. Was noch fehlt sind A und D. Die kriegst Du durch die Lösung des Anfangswertproblems raus.
Die physikalische Bedeutung der Konstanten:
A: Die Amplitude der Schwingung zu Beginn.
B: Die Dämpfung (je größer B, um so schneller kommt der Oszillator in seiner Gleichgewichtslage zur Ruhe).
C: Die Kreisfrequenz (Abgesehen von dem Faktor 2π ist das die Frequenz der Schwingung)
D: Die Anfangsphase der Schwingung φ. φ=0 bedeutet Start aus der Gleichgewichtslage, φ=+/-π bedeutet Start aus einem der beiden Umkehrpunkte.
Michael