Gedankenspielerei

Wissenschaft Physik
1

Liebe Mathematiker!
Gestern saß ich bei einer großen Schüssel kleiner Äpfel, die ich schälen musste. Dabei ließ ich meine Gedanken schweifen und kam auf folgende Frage:
Ist es egal, ob ich große oder kleine Äpfel habe, ist die Schälarbeit immer die gleiche?
Ich dachte ich könnte das so rechnen:
Angenommen, die Äpfel sind Kugeln (also ganz gleichmäßig). Ich benötige ein Volumen von sagen wir mal 2 Liter. Wiviel Äpfel mit einem Durchmesser von 10 cm muss ich schälen und wieviel Oberfläche in cm2 haben die. Und dann noch: wenn es einen Apfel gäbe, der so groß ist, dass er ein Volumen von 2 Liter hat, wieviel Oberfläche hätte der?
Nur - die Formeln und Ansätze sind längst vergessen…

Vielen Dank schon einmal!
Irene

2

Ist es egal, ob ich große oder kleine Äpfel habe, ist die
Schälarbeit immer die gleiche?

Ist doch klar, dass man umso mehr schälen muss je kleiner die Äpfel sind.

Angenommen die Äpfel wären Würfel. Wenn du nur einen großen Würfel hast, musst du nur die Außenhaut schälen. Besteht dieser jedoch aus lauter kleinen Würfeln, so muss man zusätzlich auch noch die Zwischenwände schälen.

Das selbe gilt natürlich auch für andere Apfelformen.

Gruß
Oliver

3

Jetzt, wo du’s sagst…leuchtet mir natürlich ein. Danke schon einmal, Irene

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4

Servas Irene,

hätt ich fei nicht erwartet, dass Du Dich mit der Umdeutung von Äpfeln in Würfel zufrieden gibst. Kleine Äpfel würden sich am ehesten - wenn man vereinfachend regelmäßige geometrische Körper nehmen will - durch Kugeln abbilden lassen. Und in diesem Fall gehts dann um das Verhältnis Volumen (das was auf den Kuchen kommt) zu Oberfläche (das was man schälen muß) in Abhängigkeit vom Radius (Größe des Apfels). Als ein System von zwei Gleichungen, nach Radius aufzulösen (?) Weiter als bis zu diesen Dingen in der zweiten Dimension (Kreislinie und -fläche) bin ich wegen des bekannten reichsdeutschen Pisa-Phänomens nicht gediehen, aber hier hats soviel gscheite Leut, jetzt wollen wirs schon auf echt wissen, oder?

Schöne Grüße

MM

(Der unvergessene Qualtinger im „falschen Gewicht“: „Und, wos machens jetzan, Herr Kommissar?“ - „Ü? Ü werd erstamol nochdenkan…“)

5

Naja, habe ja auch geschrieben „danke schon einmal“ - hatte schon gehofft, da kommt noch etwas, wo ich so richtig rechnen kann. Das mit den 2 Gleichungen kommt der Sache ja schon viel näher. Versteck dich nicht hinter dem schiefen Turm…na gut, warten wir gespannt, sonst muss ich halt doch das Wochenende opfern und Formelsammlungen aus dem Keller holen.
Aber schwierig wird’s schon. Es gibt nichts Grauslicheres als dieses „Restwissen“, wo’st weißt, da war doch was, aber wie ging’s nur?
Grüße
Irene

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6

A propos Pisa
Hallo

hätt ich fei nicht erwartet, dass Du Dich mit der Umdeutung
von Äpfeln in Würfel zufrieden gibst. Kleine Äpfel würden sich
am ehesten - wenn man vereinfachend regelmäßige geometrische
Körper nehmen will - durch Kugeln abbilden lassen.

Warum so kompliziert? Wenn du Kugel nimmst, gibt es immer noch Zwischenwände… wozu dann so komisch rumrechnen?!

Gruß
Oliver

7

Hi Irene,

Die Oberfläche wächst mit kleiner werdenden Kugeln unendlich an, wobei sich das gesamte Apfelvolumen theoretisch nicht ändert.
Praktisch schon, wegen der Randeffekte mit der Schüssel, jedoch nur bis zu einem bestimmten Grenzwert.

Gruss,

8

Hallo Helge,

Das issses ja! Bei gleichbleibendem Volumen und kleineren Äpfeln wird die Oberfläche größer, infinitesimal oder auch (durch Schüssel??) begrenzt. Soweit ok, aber wir Mathe-Laien wollen doch wissen, wie man das rechnet?

MM

9

Hallo Oliver,

hätt ich fei nicht erwartet, dass Du Dich mit der Umdeutung
von Äpfeln in Würfel zufrieden gibst. Kleine Äpfel würden sich
am ehesten - wenn man vereinfachend regelmäßige geometrische
Körper nehmen will - durch Kugeln abbilden lassen.

Warum so kompliziert? Wenn du Kugel nimmst, gibt es immer noch
Zwischenwände… wozu dann so komisch rumrechnen?!

Zwischenwände versteh ich jetzt nicht. Die Rechnung selber ist garnicht komisch, aber das Buch dazu hab ich im siebten Semester in einem Anfall von Geldmangel verkauft. Ich such bloß jemanden, der noch parat hat, wie man das Volumen und die Oberfläche einer Kugel in Abhängigkeit vom Radius rechnet. Kugel deswegen, weil im Fall des Apfels neopositivistische Fraktaltheorien zwar nahe liegen, aber nicht weiter helfen.

Schöne Grüße

MM

10

Apfelmus

Liebe Mathematiker!
Gestern saß ich bei einer großen Schüssel kleiner Äpfel, die
ich schälen musste. Dabei ließ ich meine Gedanken schweifen
und kam auf folgende Frage:
Ist es egal, ob ich große oder kleine Äpfel habe, ist die

Hi Irene

dann wollen wir mal rechnen:

zunächst ein paar Symbole:
V = Volumen einer Kugel
O = Oberfläche einer Kugel
r = Radius einer Kugel
π (pi) = 3,14159…

der „.“ soll das „mal“-Zeichen sein

generell gilt:

V = 4/3.π.r3
O = 4.π.r2

Du willst 2 Liter = 2000 cm3 Volumen Apfelmasse haben, die du aus Äpfeln von r = 5 cm herstellen willst

Volumen eines Apfels:
V(apfel) = 4/3.π.5.5.5 cm3 = 1,33.3,14.125 cm3 = 522,025 cm3

2000:522,025 = 3,83

d.h. du benötigst 3,83 Äpfel für 2 Liter Masse.

Da du dafür 4 ganze Äpfel schälen mußt, mußt du das 4-fache einer
Apfeloberfläche schälen:

O(apfel) = 4.π.5.5 cm2 = 314 cm2

insgesamt also 4.314 = 1256 cm2

Aus dem Kugelvolumen kannst du die Oberfläche direkt berechnen.

V = 4/3.π.r3 = 1/3.r.(4.πr2) = r/3.O

O = 3.V/r

Aus V = 4/3.π.r3 folgt

r = 3√(3V/4π)

mit V = 2000 cm3 = 1 Mega-Apfel gilt

r = 3√(3V/4π) = 3√477.7 = 7,81 cm

für „dritte Wurzel“ aus einer Zahl braucht man einen geeigneten Taschenrechner.

Die Oberfläche des Apfels mit Volumen 2000 cm2:

O = 4.π.7,812 = 766 cm2

Du siehst, daß die Oberfläche kleiner ist als die der 4 kleineren Äpfel zusammen.

Zufrieden?

Gruß

Metapher

11

Metapher, danke, natürlich total zufrieden! Jetzt nehme ich den Taschenrechner und gehe zum Markt! Äpfel kaufen! Wünsche ein schönes Wochenende, du Multitalent!
Danke auch allen anderen, die sich so rege an der Diskussion beteiligt habe - es hat Höllenspaß gemacht, abgesehen davon, dass ich wieder etwas längst vergessenes auffrischen konnte!
Möchte an dieser Stelle auch noch „Manni“ erwähnen, der mir in einer E-Mail eine allgemeine Formel geschickt hat, danke auch ihm.
Herzlichst
Irene

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12

Hallo, ich habe hierzu einen netten Querbezug zur Biologie…

Wie festgestellt, nimmt das Verhältnis von Oberfläche:Volumen ja mit steigendem Volumen ab. Da ein Wärmeaustausch nur an Oberflächen stattfinden kann, sind Tiere, die in kalten Gebietene leben, meist größer als ihre Verwandten in warmen Gebieten. zB Pinguine: Die großen Kaiserpinguine leben in der Antarktis, die kleinen Zwergpinguine findet man in Äquatornähe.

Nur so,
Jochen

13

Hoffentlich …
Hallo

Hoffentlich landet das nicht im Witzebrett

Ist es egal, ob ich große oder kleine Äpfel habe, ist die
Schälarbeit immer die gleiche?

Angenommen die Äpfel wären Würfel…

Ratz

14

Hoffentlich landet das nicht im Witzebrett

Ja, hört sich vielleicht witzig an, aber wenn man zuerst von Würfeln ausgeht und dann das Modell immer weiter bis zur Apfelfform verfeinert, sieht man, dass sich das zur
Beantwortung der Frage Wesentliche nicht ändert, nämlich dass die Gesamtoberfläche zunimmt, wenn die Äpfel kleiner werden. Somit ist man am Ziel und hat das Ergebnis ohne
einmal wirklich gerechnet zu haben.

Gruß
Oliver