Die gibt es gar nicht !

es gibt die fristlose Kündigung und die normale (die nennt man ordentliche) mit 3 Monaten Frist und einem zulässigen Grund ( etwa Eigenbedarf).
Ordentlich kannst Du hier nicht kündigen.

Ich würde in jedem Fall 1) den Studenten wegen Verdacht der Urkundenfälschung und des Betruges anzeigen. Bei der Polizei. Auf der Wache an deinem Wohnort z.B. Unterlagen mitnehmen !

Und dann 2 ) fristlos kündigen. Kurze Frist kann man ihm einräumen, max. 10 Tage.
Und zwar nicht wegen Nichtzahlung der Miete sondern wegen dem gestörten Vertrauensverhältnisses durch den Betrug.
Du wolltest ja nicht an ihn vermieten, ausdrücklich nicht. Sondern an die Eltern, das hat er mit der Urkundenfälschung verschleiert und sich erschlichen.
Das muss man nicht dulden. Die ausstehende Miete ist nicht der wesentliche Punkt, denn der würde jetzt noch keine fristlose Kündigung rechtfertigen. Das wäre noch zu heilen.

Wenn er nicht freiwillig auszieht, stehst du sowieso dumm da. Denn dann musst Du die Räumungsklage einleiten, was Geld kostet und ziemlich lange dauern kann (bis zu 1 Jahr, wenn alles schlecht läuft und der Bewohner auf stur stellt)

MfG
duck313