Hallo zusammen
Ich hätte da mal eine Frage. Wenn die Luft über einem See -2 Grad warm ist und das Wasser im See eine Temperatur von 0 Grad hat, wie lange dauert es dann, bis sich eine 10 cm dicke Eisschicht gebildet hat? die spezifische Schmelzwärme (3.3* 10^5), die Dichte (920) sowie die Wärmeleitzahl (2.3) von Eis sind bekannt.
Das Problem daran ist, dass das Wachstum der Eisschicht zeitabhängig ist, dh immer kleiner wird. braucht man dazu eine Differenzialgleichung?
Danke!
Sehr geehrter Fragesteller,
der Wärmedurchgang und damit die pro Zeiteinheit neu gebildete Eisschicht ist direkt umgekehrt proportional der bereits gebildeten Schicht (Strahlung und andere geringfügige Einflüsse vernachlässigt). Es handelt sich hier um eine in der Natur und auch im menschlichen Leben oft vorkommende gleichprozentige Funktion. Näheres finden Sie unter
http://docs.google.com/Doc?docid=0AfBRewZ-3tayZDR0Z3…
Mit freundlichem Gruß
Helmut Börjes
Ich hätte da mal eine Frage. Wenn die Luft über einem See -2
Grad warm ist und das Wasser im See eine Temperatur von 0 Grad
hat, wie lange dauert es dann, bis sich eine 10 cm dicke
Eisschicht gebildet hat? die spezifische Schmelzwärme (3.3*
10^5), die Dichte (920) sowie die Wärmeleitzahl (2.3) von Eis
sind bekannt.
Das Problem daran ist, dass das Wachstum der Eisschicht
zeitabhängig ist, dh immer kleiner wird. braucht man dazu eine
Differenzialgleichung?
Hallo,
das Problem ist nicht mehr so ganz einfach zu lösen.
Zuersteinmal muss der Wärmeübergang mittels der Nusseltzahl an beiden Phasengrenzen (Eis-Luft und Eis-Wasser) betrachtet werden. Der Wärmedurchgang durch die Eisschicht ist dickenabhängig. Das bedeutet die Wachstumsgeschwindigkeit der Eisschicht sinkt mit ihrer Dicke. Das führt unweigerlich zu einer Differenzialgleichung. Wie diese genau aussieht, das kann ich hier auf die Schnelle nicht sagen, so tief stecke ich nicht in dem Thema drin.
Viele Grüße
Volker
Hallo,
wenn man alle Einflüsse kennt, kann man so etwas schrittweise in bestimmten Zeitabständen lösen. Die Schwierigkeit besteht allerdings darin, dass es sehr viele unbekannte Einflüsse gibt, die aber ganz entscheidend sind. Das betrifft zum Beispiel die Wassertiefe, über die Wärme von unten nachgeliefert wird. Die darunter liegenden Erdschichten sind auch von Bedeutung. Schließlich hast du es mit natürlicher und durch andere Strömungen überlagerter Konvektion und nicht nur mit Wärmeleitung zu tun. Das gleiche trifft für die Luftbewegung über dem Wasser zu, und schließlich ist auch die Abstrahlung der Wärme nach oben ganz wesentlich. Liegt das Wasser frei oder sind Bäume oder Wände in der Nähe? Ist der Himmel bewölkt oder nicht? Geh einmal bei Frost durch die Landschaft und beobachte die Eisbildung an verschiedenen Stellen und du wirst bemerken, dass es überall wieder anders aussieht.
Gruß, Viola
…wie lange dauert es dann, bis sich eine 10 cm dicke
Eisschicht gebildet hat? … braucht man dazu eine
Differenzialgleichung?Danke!
Hallo Rucht,
die getroffene Annahme von einer konstanten Temperaturdifferenz zwischen Ober- und Unterseite der Eisschicht vereinfacht das Problem stark. Auf die Lösung des führt Dich die Beziehung zwischen Zunahme der Eisschicht und dem Wärmefluss durch die Eisschicht:
ds/dt=q_p/(c_s*rho)
mit Eisschichtdicke s, Wärmefluss q_p, Schmelzwärme c_s und der Dichte rho. Auf diese Beziehung kommst Du leicht durch vergleichen der Einheiten. Jetzt brauchst Du noch die Gleichung für den Wärmefluss
q_p=lambda*delta_T/(s*rho),
die Du in die erste Gleichung einsetzt. Heraus kommt eine einfache Differenzialgleichung, die durch Trennung der Variablen und einmaliger Integration leicht gelöst werden kann. Das führt dann auf eine Wurzelfunktion als Abhängigkeit s von t. Nach meiner Rechnung erreicht die Eisschicht die 10cm nach 3.3*10^5 Sekunden oder 3.8 Tagen.
Gruß
Hallo zusammen
Ich hätte da mal eine Frage. Wenn die Luft über einem See -2
Grad warm ist und das Wasser im See eine Temperatur von 0 Grad
hat, wie lange dauert es dann, bis sich eine 10 cm dicke
Eisschicht gebildet hat?Das Problem daran ist, dass das Wachstum der Eisschicht
zeitabhängig ist, dh immer kleiner wird. braucht man dazu eine
Differenzialgleichung?
Danke!
Hallo rucht,
tut mir leid, zur Lösung dieser Aufgabe kann ich leider nicht beitragen!
Gruß
Pat
Naja, ich habs mir da wohl zu einfach gemacht. Ich habe bloss die Energie pro Quadratmeter berechnet, die beim Gefrieren von 10 cm Eis freiwerden und dies dann gleichgesetzt mit dem Wärmefluss pro Sekunde durch 10 cm Wasser. Ich bin auf etwa 7 Tage gekommen, was nicht stimmt. Man hätte zur Lösung eben doch eine Differenzialgleichung benötigt, ich glaube julius_e hat die richtige Lösung gefunden. Danke für die zahlreichen Antworten.
Lg Rucht