Ein Freund kam kürzlich mit der Bahauptung an, dass der Satz des Pythagoras im infinitisimalen nicht gelten würde. Dazu hat er mir eine Skizze gegeben, die ich irgendwie sogar nachvollziehe.
Daher frage ich hier mal, wo an dieser Behauptung der Haken ist.
Die Skizze war in etwas so:
…|\
…|…\
a|…\ c
…|…\
…|____\ Dann gilt ja: a² + b² = c²
…b
Im unendlichkleinen, kann man „“ ja durch „|_“ ersätzen. So:
…|_
…|…|_ c
a|…|_
…|…|_
…|_______| Dann würde ja gelten: a + b = c
…b
c² = (a+b)² ist ja bekanntlich ungleich a² + b²…
Also wo ist der Denkfehler?
Kann man den Satz von P. überhaupt für Dreiecke mit unendlichkleinen Hypothenusen nutzen? - Ich habe dazu aber auch keine gegenteilige Information gefunden.
Also, es wäre schön, wenn jemand diese Gedanken widerlegen könnte =)
MfG
Pogotorte
PS: Man verzeihe meine pfuschige Skizze 
Hallo!
Das ist der Denkfehler:
Im unendlichkleinen, kann man „“ ja durch „|_“ ersätzen. So:
Im unendlich Kleinen kann man die gekrümmte Verbindungslinie zwischen zwei Punkten durch eine gerade Strecke annähern. Man kann aber nicht eine schräge Linie durch eine Waagrechte und eine Senkrechte ersetzen.
Michael
Aha. Danke erstmal 
Gibt es dazu eine Definition, die das ganz klar formuliert? - Wenn ja, wie heißt die bzw wo kann ich die nachlesen?
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Hallo.
Gibt es dazu eine Definition, die das ganz klar formuliert? -
Kann man aus der Dreiecksdefinition ableiten: Die Summe der Länge zweier Seiten ist größer als die Länge der dritten.
Anders ausgedrückt: Geht die Länge der Hypotenuse auf Null zu, sind die Katheten immer noch kürzer; wird die Hypotenuse Null, ist das Dreieck zum Punkt entartet. Selbst dann gölte aber noch 0²+0²=0²
Gruß Eillicht zu Vensre
Hi erstmal,
zwei Parallelen schneiden sich nur im Unendlichen, Du hast also gar kein Dreieck mehr.
Gruß Volker
Uffta, dass sich 2 Parallelen erst im Unendlichen schneiden, ist mir bekannt, aber was hat das mit dem „Dreieck“ mit der stufigen „Hypothenuse“ zutun? Dort kommt der Schnitt doch zu Stande, weil die Hypothenuse durch „|_“ 's ersätzt wird, welche das gleiche Längenverhältnis wie die Katheten im originalen Dreieck haben… (ich hoffe es kommt rüber, was ich meine)
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Hallo,
„Im unendlichkleinen, kann man „“ ja durch „|_“ ersätzen“ ist eine Behauptung, gemeint ist damit "Die Summe von „|_“ konvergiert gegen die Summe von „“, wenn man die Schritte immer kleiner macht.
Das stimmt aber schlicht und ergreifend nicht: die Summe aus den „|_“-Abschnitten ist konstant. Ein Beweis dieser Art setzt aber Konvergenz voraus.
Typisch GIGO - Garbage In - Garbage Out. Die Voraussetzung ist falsch und damit auch das Ergebnis.
Gruss Reinhard
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Hallo,
…|\
…|…\
a|…\ c
…|…\
…|____\ Dann gilt ja: a² + b² = c²
…b
Ok.
WEnn Du | durch \ ersetzt hast du doch zweit Parallelen, oder habe ich Deinen Gedankengang nicht richtig verstanden?
Gruß Volker
Ich denke, da haben wir uns missverstanden: Die Hypotenuse, also das „“ sollte in infinitisimale „“ zustückelt werden, und jedes Teil dann durch „|_“ ersetzt werden.
(das sollte mein 2. Bild beschreiben )
MfG
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Hallo,
Hallo zurück.
Das stimmt aber schlicht und ergreifend nicht: die Summe aus
den „|_“-Abschnitten ist konstant. Ein Beweis dieser Art setzt
aber Konvergenz voraus.
An dieser Stelle kann ich nicht folgen Bin etwas eingerostet…
In wiefern muss da etwas konvergent sein? Sagt das in etwa aus, dass man ohne eine Krümmung gar nicht im unendlichkleinen durch „gerade“ Abschnitte annähern darf? (sinngemäß wurde das ja so schon hier gesagt)
Typisch GIGO - Garbage In - Garbage Out. Die Voraussetzung ist
falsch und damit auch das Ergebnis.
Ich kann mich mit der These ja auch nicht anfreunden
Aber kannst du mla erklären, wo genau die Vorraussetzung falsch ist?
Oder anders:
Könnte man so argumentieren? a+b >= c gilt ja für jedes Dreieck (ich spreche einfach mal von ottonormal Dreiecken in der Ebene)
Wenn das Dreieck nicht zu einer Strecke entartet ist, gilt a+b>c, daher DARF man die schrägen Stücke nicht durch „|_“'s ersetzten.
Dürfte stimmen oder?
Aber dann frage ich mich: Wo steht, dass man das nicht darf?
MfG
In wiefern muss da etwas konvergent sein?
Naja, „im unendlichen“ rechnet es sich nicht so leicht, wie dieser Pseudobeweis es weis machen will. Man kann es vielleicht auch mal so fragen: Warum soll eine Gerade (die Diagonale) „im Unendlichen“ auf einmal lauter Ecken haben?
Aber dann frage ich mich: Wo steht, dass man das nicht darf?
Ganz einfach: Beweise („mathematisch“ - nicht „pseudoanschaulich“) Deine Behauptung: „Im unendlich Kleinen, kann man „“ durch „|_“ ersetzen.“
Solange Du das nicht kannst (und Du wirst es nicht können, weil das „ersetzen“ ein (mathematisch) undefinierter Begriff ist, sondern nur eine umgangssprachliche Bedeutung hat), darfst Du die Schlussfolgerungen nicht verwenden.
Ganz einfach: Beweise („mathematisch“ - nicht
„pseudoanschaulich“) Deine Behauptung: „Im unendlich Kleinen,
kann man „“ durch „|_“ ersetzen.“
Ganz einfach ist das sicher nicht
Gibt es einen ähnlichen Sachverhalt, wo soetwas bewiesen wurde oder vielmehr nachgewiesen wurde, dass so eine Annahme falsch ist?
Denn mal abgesehen, davon dass ich den Beweis so er denn möglich ist, nicht auf die schnelle hinbekomme, finde ich erstmal mit meinem Halbwissen keinen grund, warum man im Infinitisimalen das nicht ersetzen darf…
Erst mal vorneweg: Dir ist hoffentlich klar, dass das alles nur ein Witz ist, was da „bewiesen“ wird und Du sicherlich nicht nach 2000 Jahren den Gegenbeweis des Satz des Pythagoras gefunden hast, oder??? Wenn’s Dir bis jetzt noch nicht klar war, dann nimm es einfach mal so hin! Mathematik ist (im Gegensatz zu - ich sag jetzt mal - den „Meinungswissenschaften“) eigentlich keine Sache, wo groß über Wahrheiten „diskutiert“ wird.
Jetzt nochmal mein letzter „formaler“ Versuch:
Goldene Regel: Alles in der Mathematik wird bewiesen! Das einzige, was nicht beweisen wird, sind die „Axiome“ (vgl. Wikipedia, Axiom, Punkt 3) und dazu zählt sowas wirklich nicht!
Den „Beweis“, dass Deine Ersetzungsbehauptung falsch ist, hast Du praktisch selbst geliefert, denn „Widerspruchsbeweis“ (vgl. Wikipedia!): Wenn er richtig wäre, so gälte der Satz des Pythagoras nicht. Der Satz des Pythagoras gilt aber („ordentlich bewiesen!“ - Beweis kann man auch in Wikipedia nachlesen). Widerspruch!
Damit habe ich Dir jetzt bewiesen, dass Deine Behauptung nicht gilt!
Wenn Du das jetzt nicht so siehst: Ich zitiere meinen Prof. aus dem ersten Semester, auf die Nachfrage einiger Studenten, die die Beweise auch nie schon beendet sahen: Es ist wie mit einem guten und einem schlechten Schachspieler. Der gute sieht, wenn er in 10 Zügen Matt ist und gibt die Partie verloren auf, der Schlechte spielt bis zum letzten Zug.
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Hallo!
(Ich bin kein Mathematiker, also schlagt mich nicht, wenn ich mich unpräzise ausdrücke)
Du hast die Idee der Infinitesimal-Rechnung falsch verstanden. Was Du tust: Du zerlegst die Randlinie eines Dreiecks in rechtwinklige Elemente und glaubst, dass dadurch das Dreieck in seiner Form angenähert würde. Es erinnert mich an Computer-Pixel. Wenn die Pixel genügend klein sind - so Deine Denke - verschwimmen sie und geben das Dreieck „perfekt“ wieder. Was den Flächeninhalt anbetrifft, stimmt es sogar, nicht jedoch was den Umfang anbetrifft.
Mit Infinitesimalrechnung hat das aber überhaupt nichts zu tun.
Den gewünschten Gegenbeweis wird es daher nicht geben. Wolfgang Pauli hat einmal gesagt: „Das ist nicht nur nicht richtig. Das ist nicht einmal falsch!“
Michael
Heidewitzka. Ich muss an dieser Stelle noch mal betonen, dass ich mathematisch interessiert und auch relativ versiert bin.
Deiner Argumentation stimme ich voll und ganz zu.
Und um es nochmal klarzustellen: Von Anfang an habe ich diese These für Quatsch befunden, mir fiel lediglich kein konkretes Argument dagegen ein
Nun, wenn ich das selber geliefert habe ist das fein Und so macht das imho auch argumentatorisch bzw mathematisch Sinn.
Leider konnte ich es wohl zu keiner Zeit hier rüberbringen was ich wirklich wollte: Einen Satz oder eine Def. die mir verbietet „“ durch „|_“ zu ersetzten.
Nuja, wenn das „Problem“ damit vom Tisch ist, bin ich einigermaßen zufrieden
MOD: Überflüssiges Vollzitat gelöscht.
Danke
Danke an alle die mir hier auf die Sprünge geholfen haben oder es versuchten
Da kamen dann ja doch einige Argumente genen diese These zusammen.
Ich denke mal, ein Mix aus allem wird mir dann genügen, um bei einer Flasche Bier/Wein das ganze mit besagtem Freund zu erörtern 
Danke und MfG
Pogotorte
was ähnliches… pi = 2
deine fragestellung erinnert mich an eine ähnliche beweisführung, die wie folgt funktioniert:
man zeichne einen kreis und eine diagonale hinein.
die diagonale hat die länge 2r, ein halbkreisbogen die länge pi*r.
nun halbiert man die diagonale und zeichnet auf beide hälften jeweils einen halbkreis, von mir aus in einander entgegengesetzte richtung, daß sich so etwas wie eine S-form ergibt. die länge dieses „S“ ist weiterhin pi*r.
wenn man die strecken wieder halbiert und wieder doppelt so viele halb so große halbkreise einzeichnet, bleibt die länge der kurve immer noch pi*r. das kann man endlos fortsetzen.
nun nähert sich aber die kurve im unendlichen der diagonale an. nachdem der wert aber konstant ist und nicht irgendwohin konvergiert, müßte man doch die länge der kurve und die länge der diagonale gleichsetzen können, und dann wäre pi*r = 2r, also vereinfacht pi = 2.
wzbw. bzw. qed.
Auch so etwas Ähnliches…
Man stelle sich einen „Stoff“ vor, der aus kugelförmigen „Atomen“ besteht (Ob es tatsächlich Atome oder Bälle oder Äpfel sind, ist vollkommmen egal).
Wenn man diesen Stoff in ein Gefäß füllt, so werden sich (nach etwas Rütteln) die Atome annähernd in einer dichtesten Kugelpackung anordnen, d. h. immer schön auf Lücke. Das Gefäß soll unendliche Ausdehnung haben.
Erstaunlicherweise wird das Volumen des Gefäßes gleich gut ausgefüllt, egal wie groß die Kugeln sind, nämlich zu 74%. (Mit einer naiven Vorstellung des Grenzübergangs hätte man meinen können, dass die Kugeln das Volumen perfekt ausfüllen, wenn sie nur klein genug sind).
Michael
Leider konnte ich es wohl zu keiner Zeit hier rüberbringen was
ich wirklich wollte: Einen Satz oder eine Def. die mir
verbietet „“ durch „|_“ zu ersetzten.
Dein „Denkfehler“ ist immer, dass Du Dein „anschauliches“ oder „naives“ (im Sinne von „einfach“ -nicht persönlich gemeint!) Verständnis von „im unendlichen“ bzw. „ersetzen“ verwendest, und nicht ein sagen wir „mathematisch-formales“, was es zu diesen Wörtern erstmal gar nicht gibt.
Das kostet am Anfang vom Mathestudium so ziemlich viel Zeit, sowas zu verstehen, und man wundert sich oft, warum Sachen, die man in der Schule mal gemacht hat, auf einmal so schwierig und „langwierig“ werden. Weil eben alles genau definiert bzw. streng logisch bewiesen wird.
Und deshalb wundere ich mich auch nicht mehr, dass viele Mathematiker nach dem Studium verhaltensgestört sind. Die haben einfach Angst „falsche Aussagen“ zu machen, und da wird jede Kommunikation schwer. Die dürfen Ihrer Frau z.B. nicht sagen, dass sie einen „perfekten Körper“ hat!