Hallo Leute,
da meine letzte Mathestunde schon seeeeehr lange her ist, möchte eine Frage meiner Tochter weiterleiten:
Vereinfache folgende Aufgabe:
(a^3-b^3)*(a-b)^3
is bestimmt ganz einfach, aber ich komm nicht drauf.
Vielen Dank für eure Hilfe
Gruß Harald 
Ja
Hallo Harald,
Vereinfache folgende Aufgabe:
(a^3-b^3)*(a-b)^3
Du erinnerst dich vielleicht noch
an die „binomischen Lehrsätze“?
deren zweiter:
(a-b)^2 = a^2 - 21b + b^2 ist
verwandt mit deiner Aufgabe und
sieht auch ähnlich aus:
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2),
und der Beweis gelingt am einfachsten
mittels „Rückausmultiplizieren“.
Also „teilt sich“ dein Bruch zu
zum „Restbinom“ a^2 + 2a*b + b^2
im Zähler und restlichen (a-b)^2 im Nenner.
Man kann natürlich auch die
sog.: „Polynomdivision“ durchführen, die
dir sicherlich viele Loite hier gerne
erklären werden.
Anwendung/Variationen:
a^5 + b^5 =
(a+b)*(a^4 - a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 + b^4)
Die unendliche „geometrische reihe“
Für 0 kleiner als x kleiner als 1
1 + x + x^2 + x^3 +++++++ x^unendlich =
1(1-x^undlich)/(1-x) = 1/((1-x), also
ist zB 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 +++++ =
1/(1-1/3) = 3/2 = 1,5.
ich hoffe, dir weitergeholfen zu haben
und mit den zusetzlichen Informationén
nicht auffe Eier.
Lieber Krüsse, moinMoin, manni
Immer wieder R
schreckend, wie schwer ichs habe,
bis 3 zu zählen… (s.u.)
und dreifach
ist nicht nur meine Antwort -
hatte dir schon eine korrigierte
Version zugestellt und die erste
(wegen einiger Schreibfehler und
Flüchtig´keitshelfer) gelöscht,
lieber Hartald -
dreifach ist eigentlich auch in
Wirklichkeit die gesuchte „einfache“
Form. Einfach nehmlich nur für uns
„Matheamten“.
Denn (a^3 - b^3)/(a-b)^3 sieht doch
eigentlich „schöner“ aus als
(a^2 + ab + b^2)/(a-b)^2 mit ja
plötzlich 3 Summanden im Zähler, oder?
Nur: gekürzt ist für unserkeinen
nunmal immer „schöner“, als Mathemathen
mit Sportsgeist!
Natürlich ist auch nicht der 1te sondern
der „3te binomische Lehrsatz“ die
eigentliche Brücke zu deiner Aufgabe,
nämlich „(a+b)*(a-b) = a^2 - b^2“.
Und weißt du, wie du dir diesen nun
noch besser einprägen kannst?
Rechne mal im Kopf 122*118 !!!
Kannst du nicht? Na, schauma her:
122*118 = (120+2)*(120-2) = ???
120^2 - 2^2 = 120^2 - 4.
Na und eine „Gros“ kennen viele:
12^2 = 144, und aus der einen null werden
ja beim Quadrieren 2 Nullen, wie ja auch
10^2 = 10*10 = 100 ergibt.
Also: 144 und 2 Nullen gibt 14400;
minus 4 = ???
Naja, da im Kopf Hunderter, Tausender und
Zehntausender sprachlich und
vorstellungsmäßig auseinander zu halten -
nicht einfach, erfordert Übung!
Und überraschen tut man die Loite aber
auch schon mit 93*87 = ??? im Kopf.
So mancher Lehrer kricht so schnell
gar nicht sein Taschenrechner raus!!!
Lieber Krüsse, moinMoin, manni
Noch was amende:
„Natürlich“ läßt sich a^2 + b^2 NICHT
zerlegen, jedenfalls nicht „reell“.
nur mit sogenannten „komplexen“ Zahlen und
Faktoren, nehmlich zu (a+ib)*(a-ib).
Rechnen kamman mit allem, nur die
Vorstellung fängt meiste später an.
Nur bei ungerade Hochzahl, also zB bei
a^5 + b^5 läßt sich zerlegen in:
=(a+b)*(a^4 - a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 + b^4).
Kleiner Tip für Experten:
Entsprechend letzter Gleichung gilt für x undlich: ln(1+x) =
x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 ±±x^n/n±±,
den links steht das Integral von 1/(1+x) und
rechts das Integral von 1-x+x^2-x^3±±…
Naja,… bis auf die Integrationskonfugente.
Pardon
Lieber Harald, es war wohl die Gewohnheit, hier einen Divisionstrich (hin)zusehen!
(a^3-b^3)*(a-b)^3
Ich hatte leider (a^3-b^3)/(a-b)^3
im Kopf und auch garnicht mehr überprüft, weil ja so etwas
häufig in Mathe vorkommt!
Nochmal Pardon/Verzeihung bitte!
Dennoch kommt man mit meinen Hinweisen ein wenig weiter, wegen
(a^3 - b^3) = (a-b)*(a^2 + ab + b^2) ist ja
(a^3 - b^3)*(a-b)^3 = (a^2 + ab + b^2)*(a-b)*(a-b)^3 =
(a^2 + ab + b^2)*(a-b)^4.
Auch das ist keine wirkliche „Vereinfachung“, nur eine Umformung.
Von Vorteil nur, wenn man eben (a-b) vorziehen tut!
Immer wieder bin ich doch auich nur ein „Leermeister“!
Alles für gut!
(also nix für schlecht! oder wie sagt man noch?)
Weißt du, warum man hier überhaupt von „Binomen“ spricht?
Hat nix mit Bitumen zu tun, aber mit „nomen est omen“, oder
anders gesagt: „Namen sind Nachrichten“.
Bilateral: zweiseitig; Binomen: zweinamig
Oder: wer a sagt, muß auch (was) be sagen
Also (a+b+c)^n = ??? wäre ein „trinomisacher Lehrsatz“
Lieber Krüsse, manni
Hallo!
Vielleicht so:
(a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)
(a²+ab+b²)=(a+b)²
dann folgt:
(a-b)(a²+ab+b²)(a-b)³= (a-b)^4*(a+b)²
keine ahnung ob das stimmt!
(a-b)(a²+ab+b²)(a-b)³= (a-b)^4*(a+b)²
Nö, stimmt nicht, Mannis Umformung war korrekt. Allerdings kann ich mir so eine Aufgabe in der Schule kaum vorstellen. Wenn da kein einfaches Ergebnis rauskam wusste ich immer, es ist noch was verkehrt… und das hier sieht ja nicht so attraktiv aus. Aufgabenstellung falsch?
Gruß
Burkh
Vielen Dank zusammen
hallo Leute,
diese Aufgabe ist wirklich aus einem Mathebuch der 10. Klasse Grundkurs! … und das war noch die einfachste!!
Aber ich muß dir rechtgeben, zu meiner Zeit gingen die Aufgaben im Buch auch noch auf
Gruß Harald
Hallo, Gregor, behurigend, dassu auchen Fehler machen tust!
Hallo!
ja natürlich, wir machen ja alle fehler, obwohl der hätte eigentlich nicht passieren dürfen!
aber so ist das, wenn man alles auf einmal macht!
beim nächsten mal pass ich auf das wieder ganz gut auf!ok?
gruß
Gregor