Hallo, Leute,
beim vor mich hin Denken bin ich in meinem Kopf auf ebendiese Frage gestoßen *was da alles rumliegt…*. Also, ist in der Mathematik die Konstruktion möglich? Ergibt Unendlich + 3 wieder Unendlich? Bleibt es stehen? Oder ist es einfach verboten, wie x/0 ?
Gruß
Sibylle
Hi Sibylle,
vorsicht mit Rechenoperationen beim Begriff Unendlich!
Dort ist vieles einfach nur definiert, um keine Unstimmigkeiten zu haben. Unendlich ist kein Wert, sondern eine Eigenschaft einer Menge.
Unendlich + irgendwas ist imer als Unendlich definiert.
Genauso Unendlich * Unendlich
Eine ‚paradoxe‘ EIgenschaft der Unendlichkeit ist z.B. auch, daß eine Menge mit der Mächtigkeit Unendlich wieder unendliche Teilmengen der Mächtigkeit Unendliche enthält. Das ist Übrigens ein Teil der Definition der Unendlichkeit.
Gandalf
Hallo Sibylle,
ja, die Addition von Unendlich und Drei (oo + 3) ist möglich. Das Ergebnis ist wieder unendlich = oo.
Letztlich kann man in der Mathematik ziemlich viel machen, solange man sich nur die passenden Begriffe definiert und beweist (!), daß sie in jedem Fall widerspruchsfrei sind. Diese Beweise sind aber im Allgemeinen schwierig. Wie auch immer…
Der Knackpunkt von oo + 3 ist die Definition von unendlich. Ich kann mal versuchen, eine Möglichkeit zu skizzieren.
Es gibt verschiedene Arten von „unendlich“. Ich will darauf nicht näher eingehen, aber unendlich kann man definieren als die Anzahl der natürlichen Zahlen. Anders formuliert, es ist die Anzahl der Elemente/Zahlen in der Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4 , 5, 6, … }.
Wenn man die Anzahl der Element mit card(N) bezeichnet, dann ist
card(N) = oo = unendlich.
Ach ja… auch die Anzahl der geraden Zahlen ist unendlich. Wir nennen sie G = {2, 4, 6, 8, 10, 12, … }
card(G) = oo
Auf dieser (zugegeben mathematisch anspruchsvollen) Seite http://www.informatik.hu-berlin.de/lehrstuehle/autom… wird eine neue Definition für die Addition von natürlichen Zahlen eingeführt.
Das ist am besten an einem Beispiel erklärt. Wir stellen uns zwei Mengen vor:
A = {1, 3, 5} und B = {2, 4, 6, 7}
Dann ist card(A) = 3 (drei Elemente) und card(b) = 4 (vier Elemente). A u B sei die Vereinigungsmenge von A und B, also A u B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Dann ist
card(A u B) = 7 = 3 + 4 = card(A) + card(B)
Die Formel stimmt immer, wenn die Mengen A und B keine gemeinsamen Elemente haben.
Wenn wir jetzt aber mit der gleichen Methode rechnen, aber A und G nehmen, mit den gleichen Elementen wie oben, erhalten wir folgendes:
A = {1, 3, 5}
G = {2, 4, 6, 8, … }
A u G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, … }
Nun ist klar, daß die Menge A u G auch wieder unendliche viele Elemente enthält und wir erhalten:
oo = card(A u G) = card(A) + card(G) = 3 + oo, also
oo = oo + 3
D.h. mit der Definition der Addition über die Anzahl der Elemente in zwei Mengen kann man tatsächlich zeigen, daß unendlich plus drei wieder unendlich ergibt.
Markus
Hallo Sybille,
da unendlich keine Zahl ist, kann man auch keine Zahl dazuaddieren.
In vielen Fällen macht es aber Sinn, 2 Ausdrücke zu addieren.
wenn dann einer gegen z.b. 3 konvergiert, der andere gegen unendlich divergiert, divergiert auch die Summe.
Insofern (und nur insofern) ist also unendlich +3 immer noch unendlich.
Max
Hallo Sibylle,
beim vor mich hin Denken bin ich in meinem Kopf auf ebendiese
Frage gestoßen *was da alles rumliegt…*. Also, ist in der
Mathematik die Konstruktion möglich? Ergibt Unendlich + 3
wieder Unendlich? Bleibt es stehen? Oder ist es einfach
verboten, wie x/0 ?
Etwas vereinfacht kannst du dir Unendlich als „nicht mehr Messbar“ oder „nicht mehr Erfassbar“ vorstellen.
Wenn du drei Tropfen Wasser ins Meer „schüttest“ wird wohl keiner auf dich losgehen, weil sein Keller „abgesoffen“ ist, aber es sind 3 Tropfen mehr im Meer.
MfG Peter(TOO)
Etwas vereinfacht kannst du dir Unendlich als „nicht mehr
Messbar“ oder „nicht mehr Erfassbar“ vorstellen.Wenn du drei Tropfen Wasser ins Meer „schüttest“ wird wohl
keiner auf dich losgehen, weil sein Keller „abgesoffen“ ist,
aber es sind 3 Tropfen mehr im Meer.
Hallo Peter,
das was du da gegeben hast, ist eine meist von Physikern übliche Definition von oo.
Im mathematischen SInne enthält das Meer natürlich nicht unendlich viele Wassertropfen.
Und auch ein Physiker kann sie grob schätzen. Wenn auch nicht auf 3 Tropfen genau.
Max
Diese Konstruktion hat wenig Sinn, da es im Unendlichen keine Bezugsbasis mehr für eine Additon gibt, es sei denn, es wird die Differenz irgendwelcher Folgen bei Iteration gegen Unendlich oder ähnliches betrachtet mit Analyse der Konvergenz.
Gruß
Gerald
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thanx @all o.w.T.
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