Re: Geht Unendlich + 3?

Hallo Sibylle,

ja, die Addition von Unendlich und Drei (oo + 3) ist möglich. Das Ergebnis ist wieder unendlich = oo.

Letztlich kann man in der Mathematik ziemlich viel machen, solange man sich nur die passenden Begriffe definiert und beweist (!), daß sie in jedem Fall widerspruchsfrei sind. Diese Beweise sind aber im Allgemeinen schwierig. Wie auch immer...

Der Knackpunkt von oo + 3 ist die Definition von unendlich. Ich kann mal versuchen, eine Möglichkeit zu skizzieren.

Es gibt verschiedene Arten von "unendlich". Ich will darauf nicht näher eingehen, aber unendlich kann man definieren als die Anzahl der natürlichen Zahlen. Anders formuliert, es ist die Anzahl der Elemente/Zahlen in der Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4 , 5, 6, .... }.
Wenn man die Anzahl der Element mit card(N) bezeichnet, dann ist

card(N) = oo = unendlich.

Ach ja... auch die Anzahl der geraden Zahlen ist unendlich. Wir nennen sie G = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ... }

card(G) = oo

Auf dieser (zugegeben mathematisch anspruchsvollen) Seite http://www.informatik.hu-berlin.de/lehrstuehle/autom... wird eine neue Definition für die Addition von natürlichen Zahlen eingeführt.

Das ist am besten an einem Beispiel erklärt. Wir stellen uns zwei Mengen vor:

A = {1, 3, 5} und B = {2, 4, 6, 7}

Dann ist card(A) = 3 (drei Elemente) und card(b) = 4 (vier Elemente). A u B sei die Vereinigungsmenge von A und B, also A u B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Dann ist

card(A u B) = 7 = 3 + 4 = card(A) + card(B)

Die Formel stimmt immer, wenn die Mengen A und B keine gemeinsamen Elemente haben.

Wenn wir jetzt aber mit der gleichen Methode rechnen, aber A und G nehmen, mit den gleichen Elementen wie oben, erhalten wir folgendes:

A = {1, 3, 5}
G = {2, 4, 6, 8, ... }
A u G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, ... }

Nun ist klar, daß die Menge A u G auch wieder unendliche viele Elemente enthält und wir erhalten:

oo = card(A u G) = card(A) + card(G) = 3 + oo, also
oo = oo + 3

D.h. mit der Definition der Addition über die Anzahl der Elemente in zwei Mengen kann man tatsächlich zeigen, daß unendlich plus drei wieder unendlich ergibt.

Markus