Gemeine LinA Aufgabe

Wissenschaft Physik
#1

Ich habe ein wenig in meinem LinA Buch gestöbbert und bin auf eine Aufgabe gestoßen die ich nicht lösen konnte:

Ein Integritätsring ist ein kommutativer Ring mit 1 ungleich 0, der außer 0 keine Nullteiler enthält, in dem also gilt
alpha beta = 0 > alpha 0 oder beta = 0

Es sei R ein Integritätsring mit endlich vielen Elementen. Man zeige: R ist ein Körper.
Man zeige, dass die Kürzungsregel
alpha beta = alpha gamma > beta = gamma
für alle alpha element R {0} gilt. Man beuntze die Tatsache, dass eine injektive Abbildung einer endlichen Menge in sich auch stetes surjektiv ist.

#2

Hallo,
zunächst mal zur Kürzungsregel a*b=a*c => b=c (für a0)

a*b=a*c gdw.
a*b + -(a*c)=a*c + -(a*c) gdw.
a*b + a*(-c)=0 gdw.
a*(b + -c)=0 gdw.
b + -c=0 (wg. a0 und Nullteilerfreiheit) gdw.
b=c

Um z.Z. das R ein Körper ist, reicht es (wenn ich nichts übersehen habe) das Inverse bzgl. Multiplikation auf R{0} zu finden, d.h. gesucht ist a-1 für jedes a0 mit a*a-1=1. Die Eindeutigkeit dieses Inversen folgt unmittelbar aus der Kürzungsregel.
Nach dem Schubfachprinzip (was identisch ist mit jede injektive Abbildung einer endlichen Menge in sich ist auch surjektiv) gibt es n,m mit nn=am (dabei stehe ax für a*a*…*a (x-mal)). Die Kürzungsregel liefert am-n=1. Falls m=n+1 ist am-n=a1=a=1, ergo a-1=a=1, ansonsten ist a-1=am-n-1.

Gruss
Enno

#3

Danke für die Hilfe!!!