Hallo liebe WWW-ler!
Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter, nämlich:
(ich benutz statt Alpha jetzt x)
sin (x)
_____________ = 4 * (Wurzel aus 3)
sin (x + 30°)
kann mir jemand sagen, wie man so eine Aufgabe löst?
Und ich hab eine Frage:
sin (x + 30°), wie kann ich Sinus sozusagen aufteilen?
also was ich damit meine ist halt dann zwei Sinus haben, wie z.B
sin (x) + sin (30°)
Geht sowas?
LG
Nathalie
sin (x)
_____________ = 4 * (Wurzel aus 3)sin (x + 30°)
Hallo,
der Schlüssel zur Lösung ist wieder mal das Additionstheorem
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
Division beider Seiten durch sin x führt auf
sin(x + y) / sin x = cos y + (cos x / sin x) sin y = cos y + sin y / tan x
und das kannst Du nach tan x auflösen:
tan x = sin y / (sin(x + y) / sin x – cos y)
y = 30° ⇒ sin y = 1/2, cos y = 1/2 √3
Mit sin(x + y) / sin x = 4 √3 folgt:
tan x = … = –2/5 √3
Diesen Wert nimmt tan x im Intervall [–π, +π] genau zweimal an, nämlich an den Stellen
x1 = –arctan(2/5 √3) = –0.60589…
und
x2 = π – arctan(2/5 √3) = 2.5357…
Und ich hab eine Frage:
sin (x + 30°), wie kann ich Sinus sozusagen aufteilen?
also was ich damit meine ist halt dann zwei Sinus haben, wie
z.B
sin (x) + sin (30°)
Nein, zu sin(x) + sin(30°) darfst Du sin(x + 30°) auf keinen Fall „umformen“, denn das wäre falsch (es gibt Funktionen, wo es richtig wäre, sie heißen linear
. Die trigonometrischen Funktionen, also sin, cos, tan etc. sind jedoch allesamt keine linearen Funktionen). Die korrekte Umformung ergibt sich eben aus dem obenstehenden Additionstheorem, und lautet sin(x + 30°) = sin(x) cos(30°) + cos(x) sin(30°).
Aber Achtung: Mit „linear“ sind hier NICHT die linear-affinen Funktionen f(x) = a x + b gemeint (wie man sich leicht klarmacht, erfüllen sie „f(x + y) = f(x) + f(y)“ NICHT!), sondern die „echt“ linearen Funktionen f(x) = c x, die Proportionalitäten ausdrücken (Graph = Gerade durch den Ursprung).
Mit freundlichem Gruß
Martin