Guten Abend.
Folgende Aufgabe:
Ich will eine Kugel herstellen aus Drahtgeflecht (kräftiges).
Ich muß also, wenn ich ein Drahtgeflecht (zweidimensional) biege zur Kugelform,vorher einschneiden, weil es sonst Falten wirft.
Das heißt, ich sollte -wie bei einer Globusherstellung- vorher das flächige Drahtgeflecht in „Blütenblätter“ segmentieren,
und diese könnten dann zur dreidimensionalen Kugel herumgebogen werden.
Die Frage: Gibt es eine Berechnung, wieviele Segmente ich (in Abhängigkeit vom gewünschten Kugeldurchmesser natürlich)
schneiden sollte, und welche Biegungsform dieselben haben müssen?
(Damit meine ich den Radius der einzelnen „Blütenblätter“)
Jetzt bin aber mal gespannt…
liebe Grüße von
Gerhard.-
Hi Gerhrard,
ich glaube, ich muss erst mal übersetzen:
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also 2Pi*r breit
Pi*r hoch
(um nun beim Globus zu bleiben)
nötdlich vom Äquator im 1. Breitengrad muss z.B. ein Längengrad gekappt werden, im 2. BrGr dann schon 3 LgGr usw…
Dann wäre es noch hilfreich, wenn Du noch die Maße des Geflechtes angibst und deren Maschengröße.
LG
Ce
Guten Tag.
Vielen Dank für die Nachricht.
Hm, im Moment kann ich deine Antwort allerdings auch noch nicht interpretieren…
Ich stelle es deshalb mal andersherum dar:
Die gewünschte Kugel soll einen Radius von 45 mm haben. Das Drahtgeflecht, das zur verfügung steht, ist einigermaßen feinmaschig.-
Bei wikipedia habe ich mich noch ein wenig kundig gemacht:
Es handelt sich demnach um sog." Zweiecke" -also tatsächlich wie bei einer Globus-Herstellung.(Sehen aus wie Melonenschnitten).
Worauf beziehst Du jetzt Deine Angabe von 2pi*r bzw. pi*r ?
Auf die Kugel darselbst, oder auf den Krümmungsradius der Zweiecke?-
Und das mit dem „Kappen der Längengrade…“ habe ich nicht verstehen können…-weshalb sollte ich die kappen? die Zweiecke sollen bis zu den beiden Polen zulaufen, und diese Linie kann keine Gerade sein…>„Zweieck“ eben.
Relevant ist ja auch die Anzahl der Zweiecke, die ich schneide:
Beim Globus werden lt. Wiki oftmals 12 verwendet.
Und danach müßte sich ja auch der Krümmungsradius der Zweiecke richten:
Je mehr einzelne Segmente (Zweiecke), desto größer müßte der Krümmungsradius sein.
Aber wo liegen die jeweiligen Mittelpunkte ebendieser Kreise,
deren Kreissegmente dann den Krümmungslinie der zweiecke ergeben?-
Ich hoffe, ich konnte mich einigermaßen verständlich machen?
lg, gerhard.-
Hallo Gerhard,
ich hab´ mal versucht, den Krümmungsradius auszurechnen.
Ich komm´da auf R=n*d/4
mit R=Krümmungsradius
d=Durchmesser
n=Anzahl der Segmente, in die Du die Kugel aufteilen
würdest.
Der Beweis ist nicht lang. Allerdings ist es sinnvoll, sich dazu eine kleine Skizze zu machen. Wenn Du möchtest, kann ich Dir den Beweis noch nachreichen.
Beste Grüße,
Daniel
Moin, Daniel.
Das hört sich aber gut an!
Also, der Beweis würde mich schon interessieren,und auch, wo dann die jeweiligen Mittelpunkte der jeweiligen Kreise zu liegen kommen?
Ich habe zwischenzeitlich eine rein geometrische Lösung erarbeitet; der Beweis bzw. der Versuch, ob sich die dort ergebenden „Blütenblätter“ (also die Zweiecke,ich habe mal 12 genommen)auch wirklich in praxi zu einer Kugel fügen lassen, steht noch aus.
Die Bedienungsanleitung zu dieser geometrischen Herangehensweise würde ich nach erfolgreichem Versuchsergebnis mal hier posten.
Aber zurück zu Deiner Nachricht:
Ich werde mal Dein Ergebnis (R=n*d/4) vergleichen mit meiner geometrisch gefundenen Lösung. Ich schreibe hier in Kürze das Vergleichsergebnis.
Viele Grüße,
Gerhard.-
Hallo Gerhard,
hier jetzt mal die Herleitung, die ich mir überlegt habe. Anbei auch gleich noch der Abstand der Krümmungskreismittelpunkte (pi*d/n).
https://rapidshare.com/files/919137832/Beweis_Zweiec…
Bin mal gespannt auf Deine Herangehensweise.
Grüße,
Daniel
Lieber Daniel.
Brilliant!Hervorragend!
Das ist ja lehrbuchmäßig.
Vielen Dank!
Ich habe nun die geometrische Lösung gefunden -wenngleich sie immerfort um ca.3mm differiert zu Deiner rechnerischen Lösung.
Es könnte Zeichenungenauigkeit sein.
Hier meine Beschreibung:
d= Duchmesser Kugel
M= Mittelpunkt des Hauptkreises
n= Anzahl d er Segmente
Sn= „Sternspitze n“
MSn= Mittelsenkrechte n
Tn= „Talpunkte n“
An= Mittelpunkt der gesuchten Krümmungskreise
- Kreis ziehen mit r=Umfang der Kugel/2 = pi*d/2
- Teilung der Kreislinie in n Segmente (z.B. n=12)
- Es ergeben sich „Sternspitzen“ Sn.
Diese werden mit dem Mittelpunkt M verbunden:
Es wird also ein „Stern“ konstruiert mit n Spitzen,
indem die Sn so miteinander verbunden werden,
daß immer drei Spitzen dazwischen liegen,
also S1—S5
S2—S6
S3—S7 usw.
4)Die n Mittelsenkrechten MSn werden dann gebildet jeweils
auf den Strecken Sn-M
5)Diese MSn schneiden immer auch eine der „Sternspitzen“ Sn !
6)Dadurch ergeben sich auch die „Talpunkte Tn“ :
Diese „Talpunkte Tn“ liegen jeweils zwischen den
„Sternspitzen Sn“ in dieser Reihenfolge:
S1-T1-S2-T2-S3-T3-S4-T4 usw.
7)Nun werden verbunden:
a) T1-M
b )S2-T2 (das ist die MS4 von S4-M)
c) S3-S4 (das ist die Verbindung zwischen zwei „Sternspitzen“) - Man erhält somit drei Geraden, die sich in einem Punkt A4 treffen.
Das ist der Mittelpunkt des gesuchten Krümmungskreises
mit dem Radius A4-M - Dieses wird wiederholt, bis alle n Zweiecke gezeichnet
werden können. - Veranschaulicht ergeben sich Dreiecke, die den gesuchten
n Kreissektoren der zugehörigen Krümmungskreise
eingeschrieben sind.
(Ein insgesamt schönes Bild eines recht meditativen n-Sternes.)
Intern noch meine Anfrage: Mit welchem Zeichnprogramm kannst
Du diese Zeichnung (pdf) erstellen?
Bitte um Korrektur und Verbesserung, wenn Du einen Fehler/Unzulänglichkeit in meiner Ausführung entdeckst.
Viele Grüße,
Gerhard.-
Guten Abend.
So, jetzt habe ich mal die Praxis überprüft, und die erweis sich als merkwürdig:
Rechenbeispiel:
n=12
d (Durchmesser Kugel)=90
>das ergibt gerechnet:
R (Radius Krümmungskreis)= n*d/4=270
s (Umfang Kugel)=pi*d=282,74
b (Umfang des Kreissektors = der Bogen des Zweiecks)=pi*d/2 =141,37
a (Abstände der Mittelpunkte der R)=pi*d/n=23,56
>Das hatte ich jetzt gezeichnet auf zwei Arten:
- Die „historische“, wo globusmäßig -wie in Deiner pdf-Zeichnung (bzw. Wikipedia)-
alle Zweiecke nebeneinander zu liegen kommen:
>Unter Berücksichtigung von Zeichenungenauigkeiten ergab sich jedoch
ein Wert für b (Umfang des Kreissektors eines einzelnen Zweieckes,
gleichbedeutend mit dem halben Kugelumfang)
von b= 160 (!)
Unterschiedsfaktor von1,13
Ich hatte dann probeweise nochmal mit einem anderen Werten für d (Kugeldurchmesser) gearbeitet:
Der zweite Fall mit
d= 50 und n=12
ergab gerechnet einen Wert für b=78,54;
und gezeichnet ergab sich hierbei b=90,0
Unterschiedsfaktor von 1,15
- meine geometrische Lösung (Zentralkreis, 12-Stern) ergab für den ersten Fall mit d=90::
b=143
(den zweiten fall habe ich nicht mehr gezeichnet)
Wo könnte hier der Fehler liegen?
Er scheint sich beim Zeichnen nach der „historischen Weise“ reinzuschleichen.
Es sieht so aus, als müßte der R des Krümmungskreises KLEINER sein als 270 (mit diesen Zahlen)
> Ob das mit einer perspektivischen Verzerrung zu tun haben könnte?
Grüße,
Gerhard.-
Hallo Gerhard,
freut mich, dass Dir die Lösung gefällt 
Nun bin ich gerade daran, Deinen geometrischen Ansatz nachzuvollziehen und bin gerade dabei eine allgemeingültige Version davon mit Geogebra zu programmieren.
Das ist übrigens eine tolle Freeware unter www.geogebra.org mit der sich mittlerweile auch viele analytische Probleme toll berechnen und darstellen lassen.
Ich bin meinen Ansatz durchgegangen und m.E. liegt der Fehler im letzten Teil, in den Abständen der Radiusmittelpunkte zueinander. Ich vermute, ich habe da irgendwo einen Verzähler drin.
Die Länge b sollte auf jeden Fall pi*d/2 ergeben, da eine solche Seite beim Formen der Kugel genau den halben Kugeldurchmesser ergeben muss.
Ich melde mich, wenn ich da weiterkomm.
Bis dahin alles Gute.
Beste Grüße,
Daniel
P.S.: Hast Du ein Bild von Deiner Konstruktionszeichnung?
Guten Abend, Daniel.
1)Bitte melde Dich sogleich, falls in der Beschreibung meines „geometrischen Ansatzes“ irgendwas unklar sein sollte.(wegen Deiner Programmierarbeit)
2)die Abstände der Radiusmittelpunkte ergeben sich eigentlich zwangsläufig, wenn man n-Teile (z.b.12) haben will…da gibt’s nix dran zu rütteln.Das kriege ich auch hin…-Nein, es ist tatsächlich so, daß die b immer (!) größer sind in der Zeichnung,
als sie berechnet sein dürften (pi*d/2), egal, wie genau ich auch zeichne.
3)hm…meine Zeichnung ist ca DIN A3 oder sowas, und noch nicht salonfähig…(mal sehen…)
4) „Geogebra“ hab ich mir grade mal geholt. Bin schon gespannt drauf.
Bis zum nächsten Mal,
und danke!
Grüße,
Hallo Gerhard,
bin mit der Programmierung Deines Geometrieansatzes noch nicht weiter. Wird noch ein wenig dauern.
Die Frage nach den abweichenden Bogenlängen hat mich jetzt den ganzen Tag beschäftigt. Ein Punkt, der mir in meiner Rechnung aufgefallen ist, ist der, dass ich stillschweigend angenommen hatte, dass die Zweiecke so nebeneinanderliegen, dass sie sich nur an der Äquatorlinie in einem Punkt berühren. Ein erster Gedanke war, dass dies möglicherweise ein Fehlschluss ist und ich miteinberechnen müsste, dass sich die Zweiecke auch überlappen könnten (so ähnlich wie auf dem Bild des alten Globusnetzes in meiner Beschreibung).
Ich habe das Ganze dann hin und hergerechnet und bin dann auf das Ergebnis gekommen, dass sich die Zweiecke doch nicht überlappen.
Anschließend bin ich das Ganze nochmal von vorne durchgegangen und habe meinen Ansatz verändert.
Zu Beginn war ich ja davon ausgegangen, dass die Bogenlänge gerade der halbe Kugelumfang sein muss (b=pi*d/2) und habe davon ausgehend, die anderen Größen berechnet.
Ist im Prinzip ja auch richtig, allerdings erhalte ich dadurch eine Sehnenlänge, die kleiner ist als pi*d/2. Aber: Entlang der Sehne könnte nach dem Falten der Kugel genauso ein Großkreis verlaufen.
An dieser Stelle wird die Problematik der Verzerrung des Zweiecks bei der Projektion auf die Ebene sichtbar.
Dies bedeutet, dass es auf meiner fertigen Kugel Großkreise gibt, die eben den Durchmesser d besitzen und Bereiche, die einen geringeren Durchmesser haben.
Dies wäre eine Erklärung für die falschen Ergebnisse. Das heißt, ich werde mich mal tiefergehend mit der Projektionsproblematik befassen.
Vorhin bin ich noch kurz einen anderen Ansatz durchgegangen, bei dem ich davon ausgegangen bin, dass die Zweiecke sich nur am Äquator berühren und man dann das fertige Schnittmuster zunächst zylindrisch über die Äquatorachse wölbt und dann reihum zur Kugel zusammenfügt.
Dazu habe ich die Sehnenlänge s=pi*d/2 gesetzt und die Breite (2h) der Zweiecke gleich pi*d/n gesetzt, da die n Zweiecke den Kugelumfang ergeben sollen:
h= \frac{ \pi \cdot d}{2\cdot n}
Mit dieser Rechnung erhalte ich für die Umkreisradien den Zusammenhang
R= \frac{1}{2h} \left(h^2+ \left( \frac{s}{2}\right)^2 \right)
Der Abstand für die Mittelpunkte der Radien beträgt dann pi*d/n=2h.
Setzt man wieder d=90; n=12 an, erhalte ich die Zahlenwerte:
s = 141,37
h = 11,78
2h = 23,56
R = 217,95
b = 143,98
Das haut so grob hin (s/b=98%), gefällt mir aber noch nicht so sehr. Schau Dirs mal. Vielleicht fällt Dir dazu was ein.
Den Geogebrafile der das Zweiecknetz enthält gibts hier:
https://rapidshare.com/files/352367497/Beweis_Zweiec…
Beste Grüße,
Daniel
Lieber Daniel.
Ich verglich Deine obigen Rechenergebnisse mit meinenZeichnungen:
-
bzgl. der „geometrischen Lösung“ (mithin eine geozentrische,
also ausgehend vom Kreis mit Radius s=U(Kugel) /2 =141,37 )
stimmen also der s=141,37 sowie der Krümmungsbogen von b=143,98 überein.
Aber der von Dir oben errechnete Radius des Krümmungsbogens ergibt sich hier anders.
Er ist mit -wie früher gesagt- ca. 272 oder 273 etwas größer als in der Berechnung. -
bzgl. der „historischen Lösung“ (diejenige, wo alle Zweiecke nebeneinander zu liegen kommen, wie Du es wunderbar in der 2.ggb“-Zeichnung dargestellt hast.) zeigt sich:
h = 11,78 (ok)
2h = 23,56 (ok)
s = 141,37 =U(Kugel)/2 (ok)
b = 143,98 (ok)
R = 217,95 (ok)
(Deine ggb.-Zeichnung stimmt übrigens genau mit meiner Konstruktion hier überein)
Du schreibst oben: „Zu Beginn war ich ja davon ausgegangen, daß die Bogenlänge (b)
gerade der halbe Kugelumfang sein muss (b=pi*d/2), und habe davon
ausgehend die anderen Größen berechnet. …“
Ich denke jedoch Folgendes:
Die einzige Invarianz im Vergleich der räumlichen Kugel und ihrer Projektion auf die Ebene
könnte eigentlich nur sein:
s=U(Kugel) /2 (=die Sehne!) und der Äquator! Denn nur -s- steht senkrecht auf dem Äquator;
-b- MUß in der Projektion auf die Fläche länger als U(Kugel) /2 werden,
und nur -s- bleibt invariant wie der Äquator selbst.
Stell’ Dir dazu eine Orange vor:
Ich schneide die Schale in 12 einzelne Segmente ein, und beginne sie zu schälen.
Dann nehme ich ein einzelnes Segment (ein Zweieck), und rolle es auf dem Tisch aus:
Sofort beginnt es an den Seitenrändern einzureißen (b will länger werden, und kann nicht)!
Also muß ich -s- als D(Kugel) /2 setzen, und nicht -b-
Und weiterhin: Die beiden Schnittpunkte (nenne ich jetzt:smile: Sk1 und Sk2 (die beiden Pole also) von jeweils zwei Krümmungskreisen (und das sind ja auch die beiden Endpunkte
der Sehne -s-) müßten also auf zwei zum Äquaror Parallelen liegen im Abstand von s=U(Kugel)/ 2.
(Der Winkel zwischen den beiden Geraden Sk1–M und Sk2–M beträgt übrigens ca. 38 Grad.
Ob das ein interessanter Wert ist?)
Ich habe den Eindruck, die „geometrische Lösung“ umgeht
das Problem der perspektivischen Verzerrung.
Ich bin aber nicht fit genug, herauszufinden, ob die Konstruktion nun eigentlich
valide sein könnte.(Deine Herleitung der interessanten Beziehung oben
schaffe ich grade nicht…
hast Du da irgendwie die „Formel für r im Kreissegment“ verwendet: r=(4h²+s²) / 8h ? )
Daneben kam mir noch die Idee: Invariant müßte ja eigentlich auch der Flächeninhalt sein.
Flächeninhalt Zweieck= 1/n der Kugelfläche (4*pi*r²)
Aber wenn ich A(Kugel)=4pi*r²/12 = (Flächeninhalt Kreissegment)*2 setze,
und nach r auflöse, kommt Mist raus…
uff…
Beste Grüße,
Gerhard.
Lieber Gerhard,
so, es ist geschafft, Deine grafische Lösung als ggb-File hier:
https://rapidshare.com/files/547994463/Zweieck_grafi…
Schau Dir´s mal an, ob ich es Deinen Angaben entsprechend umgesetzt habe.
Die Gerade unter 7c) in Deiner Beschreibung wird zur Erzeugung des Punkts A4 nicht benötigt. Der ist m.E. schon durch b) und c) festgelegt
- Veranschaulicht ergeben sich Dreiecke, die den gesuchten
n Kreissektoren der zugehörigen Krümmungskreise
eingeschrieben sind.
Bei diesem Punkt habe ich nicht ganz verstanden, welche Dreiecke gemeint sind, möglicherweise ist mein Bild da zu überfrachtet.
Der Krümmungsradius der Außenkreise beträgt lt. GeoGebra 273,11 mm.
Für b erhalte ich 283 mm
Ich vermute, dass ich da nicht alles richtig umgesetzt habe. Ich würde mich sehr freuen, wenn Du Dir das nochmal anschauen könntest.
Und jetzt noch meine Frage: Gibt es eine Erklärung, auf welche Weise die Konstruktion die Krümmungskreisradien erzeugt?
Vielleicht kannst Du mir das mal in einer ruhigen Minute schreiben.
Du schreibst oben: „Zu Beginn war ich ja davon ausgegangen,
daß die Bogenlänge (b)
gerade der halbe Kugelumfang sein muss (b=pi*d/2), und habe
davon
ausgehend die anderen Größen berechnet. …“Ich denke jedoch Folgendes:
Die einzige Invarianz im Vergleich der räumlichen Kugel und
ihrer Projektion auf die Ebene
könnte eigentlich nur sein:
s=U(Kugel) /2 (=die Sehne!) und der Äquator! Denn nur -s-
steht senkrecht auf dem Äquator;
-b- MUß in der Projektion auf die Fläche länger als U(Kugel)
/2 werden,
und nur -s- bleibt invariant wie der Äquator selbst.
Stell’ Dir dazu eine Orange vor:
Ich schneide die Schale in 12 einzelne Segmente ein, und
beginne sie zu schälen.
Dann nehme ich ein einzelnes Segment (ein Zweieck), und rolle
es auf dem Tisch aus:
Sofort beginnt es an den Seitenrändern einzureißen (b will
länger werden, und kann nicht)!
Also muß ich -s- als D(Kugel) /2 setzen, und nicht -b-
Ja, das sehe ich mittlerweile genauso. Allerdings werden die Segmentkanten der fertigen Kugel dann einen leicht größeren Umfang als der gewünschte Kugelumfang aufweisen.
Ich habe den Eindruck, die „geometrische Lösung“ umgeht
das Problem der perspektivischen Verzerrung.
Ich bin aber nicht fit genug, herauszufinden, ob die
Konstruktion nun eigentlich
valide sein könnte.(Deine Herleitung der interessanten
Beziehung oben
schaffe ich grade nicht…
hast Du da irgendwie die „Formel für r im Kreissegment“
verwendet: r=(4h²+s²) / 8h ? )
Genau. Hier kommt der Satz des Pythagoras zum Einsatz. Der Radiusstrahl, der ein Kreissegment halbiert, erzeugt zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten s/2 und (R-h) und der Hypothenuse R. Der Ansatz lautet dann:
\left( \frac{s}{2} \right)^2+ \left( R-h \right)^2=R^2
Etwas Umformen erzeugt das Ergebnis oben.
Daneben kam mir noch die Idee: Invariant müßte ja eigentlich
auch der Flächeninhalt sein.
Flächeninhalt Zweieck= 1/n der Kugelfläche (4*pi*r²)
Aber wenn ich A(Kugel)=4pi*r²/12 = (Flächeninhalt
Kreissegment)*2 setze,
und nach r auflöse, kommt Mist raus…
uff…
Ich vermute, dass der Flächeninhalt nicht invariant ist. Dies liegt meiner Meinung nach daran, dass wir bei einer Kugel, nachdem wir die b´s und s´s der n Teile markieren hätten, nicht zwischen diesen unterscheiden könnten. Ich will damit sagen, dass alle Großkreise zwischen den Polen die Länge b=s=U/2 besitzen.
Wenn ich die Segmente jetzt von der Kugel runterklappe, dann kann ich s=U/2 setzen, mit der Folge, dass dadurch b>U/2 wird. Wenn ich eine solche Kugel wieder zusammensetzen und b jetzt nicht mehr schrumpfen darf, dann stehen die Segmenkanten etwas über. Man würde sozusagen, die eckige Näherung an die Kugelform an den Kanten fühlen. Das würde aber auch bedeuten, dass die Summe meiner Kugelsegment etwas größer sein muss, als die Fläche der perfekten Kugel.
Für große n strebt b -> s.
Umgekehrt verhält es sich, wenn man b=U/2 setzt, dann wird s
Lieber Daniel.
Bitte um Entschuldigung, daß ich so lange nicht geantwortet habe.
(Streß…)
A)Das mit der „Invarianz der Fläche“ sehe ich jetzt auch so…>ok.
B)dann habe ich mich notdürftig ins „geogebra“ eingearbeitet:
Deine Konstruktion ist hervorragend, vielen Dank!
Interessanterweise aber hast Du dort eine Sache anders konstruiert als ich:
Ich habe tatsächlich als Drittes zwei Stern spitzen (z.B. S3-S4) miteinander verbunden!
Also der Mittelpunkt eines Krümmungskreises ergibt sich bei mir durch Schneiden von:
1)T1-M
2)S2-T2
3)S3-S4 (!)
>>und das wäre die Antwort auf Deine Unklarheit mit dem:
„10) Veranschaulicht ergeben sich Dreiecke, die den gesuchten
n Kreissektoren der zugehörigen Krümmungskreise eingeschrieben sind.“
(hm, wie mache ich das jetzt: Ich habe eine geogebra-Zeichnung,
die ich Dir gerne zeigen würde…aufbauend auf Deiner…-kann ich das hier hochladen?
Dort ergeben sich nämlich jetzt korrekte Werte für d und s)-
und ein sauberer Winkel von 30 Grad.
C) warum diese geom. Konstruktion zu funktionieren scheint, ist mir noch rätselhaft!
Ich muß gestehen, daß ich häufig intuitiv solche Sachen mache,…und hier war es intuitiv die Umsetzung der „historischen Zeichnung“ auf eine Art Kreiskonstruktion…ich kann’s nicht begründen…
D) Mittlerweile habe ich die Kugel auch aus festem Metallgewebe konstruiert…ist technisch bedingt aber ein leichtes Oval geworden, aber recht schön.
(ich hatte keine Kugel als Biegeschablone)-
Also, wenn Du noch eine Idee haben solltest, wie ich meine Zeichnung
hier hochladen könnte?
Und demnach wäre ja dann die Formel, die Du oben erarbeitet hast, zutreffend?
Beste Grüße,
Gerhard.-