Hallo!
Wir haben in unserem Mathematik-Olympiadekurs letztens ein Beispiel aus dem Bereich Geometrie bekommen, und zwar folgendes:
http://picasaweb.google.com/snoopdog16/EigeneBilder/…
Gesucht: x
Allerdings sind wir Teilnehmer, wie auch unser Professor daran gescheitert, zumindest in der Elementargeometrie und Trigonometrie.
Darum such ich hier um Rat!
Freue mich über alle Anregungen und Hinweise bzw. Vorschläge oder Lösungen mit Lösungsweg.
Mit besten Dank
Alexander M.
Hallo,
http://picasaweb.google.com/snoopdog16/EigeneBilder/…
Gesucht: x
Allerdings sind wir Teilnehmer, wie auch unser Professor daran
gescheitert, zumindest in der Elementargeometrie und
Trigonometrie.
Dann hilft immer noch die lineare Algebra, damit kann man solche Probleme totschlagen. Zwar ziemlich unschön, aber es geht.
Oder man probiert, das ganze mit Funktionen zu beschreiben.
Ich lege den Ursprung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt des Kreises. Dann ist die Kreishälfte beschreiben durch:
y_k² + x² = 6²
=> y_k = sqrt(36-x²)
Dann kann man die Geraden, die von dem Punkt (-2, 0) ausgehen als Funktionen beschreiben, jeweils mit der Kreisgleichung gleichsetzen und hatt dann die Koordinaten der Endpunkte von x. Und dann ist es leicht, den Abstand zu berechnen.
Ich führe jetzt hier die Rechnung nicht durch, weil ich mich um diese Uhrzeit sicher verrechnen würde 
Grüße,
Moritz
Hallo,
ich nenne mal Anfangs- und Endpunkt der Strecke x A und B und den Punkt bei den 3 Winkeln C.
Der Radius des Halbkreises ist 6. Somit haben die Strecken M-A und M-B als Radien die Größe 6.
Es ergeben sich folgende Dreiecke CAM mit den Strecken 2 und 6 und dem Winkel 2alpha, und CBM mit dem Winkel alpha.
In beiden Dreiecken wären nun die Höhen auf den Kreisdurchmesser und die Höhenfußpunkte zu berechnen.
Danach kann ich der Strecke x mit dem Pythagoras zu Leibe rücken.
Gruß
Jörg
PS: Da die Aufgabe unlösbar erscheint, habe ich nun was übersehen?
Hallo!
Auch ich habe eine Lösung anzubieten:
Ich nenne das Dreieck ABC, wobei A der untere Punkt neben M ist. Die Strecke AM beträgt 2, die Strecke MB 6. Der Winkel Alpha ist 60°. Damit kann man c = AB ausrechnen:
Kosinussatz:
MB² = AM² + c² - 2 AM c cos α
Das ist eine gemischt-quadratische Gleichung in c. Zahlenwerte eingesetzt ergibt:
36 = 4 + c² - 4 * 0,5 * c
c² - 2c - 32 = 0
c1,2 = 1 +/- Wurzel(1 + 32)
=> c = 1 + Wurzel(33)
Was das negative Ergebnis bedeuten soll, ist mir im Moment nicht klar. Es ergibt jedenfalls geometrisch keinen Sinn.
Auf dem selben Weg gelangen wir zur Strecke b = AC:
MC² = MA² + b² - 2 MA b * cos 120°
36 = 4 + b² - 4 * (-1/2) * b
b² + 2b - 32 = 0
b1,2 = -1 +/- Wurzel(1 + 32)
=> b = Wurzel(33) - 1
Für die Strecke x verwenden wir nun ein drittes Mal den Kosinussatz:
x² = c² + b² - 2 c b cos 60°
x² = 1 + 2*Wurzel(33) + 33 + 33 - 2*Wurzel(33) + 1 - 2 * (33 - 1) cos 60°
x² = 4
=> x = 2
(Das einfache Ergebnis legt nahe, dass ich mich nicht verrechnet habe).
Michael
Kopfrechnen! (Korrektur)
Hallo!
x² = 1 + 2*Wurzel(33) + 33 + 33 - 2*Wurzel(33) + 1 - 2 * (33 -
- cos 60°
Hab da wohl den cos(60°) vergessen. Der letzte Term ergibt natürlich 32 (und nicht 64). Daher muss es richtig heißen:
x² = 36
=> x = 6
(Das einfache Ergebnis legt nahe, dass ich mich nicht
verrechnet habe).
Einfach ist das Ergebnis immer noch, bloß diesmal auch richtig. Sorry.
Michael
Vielen Dank! Wir haben da letztens wohl irgendwo einen Fehler rein gemacht, waren so ziemlich auf dem gleichen Weg.
LG und danke
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
lösbar?
ich meine, mit hilfe von winkelgleichheiten und ähnlichen dreiecken beweisen zu können, daß eine solche strecke X unabhängig vom punkt, von dem aus diese 60°-winkel gezeichnet werden, immer dem halbkreisradius entspricht und auch von M aus gesehen immer unter 60° zu sehen ist.
ich werds mir nochmal durch den kopf gehen lassen, aber falls ein gleicher winkel und zwei zueinander proportionale seitenpaare ein ähnliches dreieck definieren, dann hauts hin. hab grad nicht so viel zeit, werds später posten, wenn nicht jemand sonst auch draufkommt.
der beweis, rein geometrisch
so, da kommts. hier die skizze dazu: http://www.gliffy.com/publish/1102820/L
auf der kreisdiagonalen wird ein beliebiger punkt P angenommen, von dem zwei halbgerade im winkel von 60° nach oben gehen und den kreis in den punkten A und B schneiden.
vom punkt A wird eine parallele zur diagonale gezeichnet, diese schneidet die strecke PB im punkt C. das dreieck ACP ist offensichtlich ein gleichseitiges.
vom kreismittelpunkt M werden die strecken AM und BM gezogen, ihre länge entspricht dem kreisradius r. die strecke AM schneidet PB in D, auch hier zeichnen wir eine parallele zur diagonale und haben damit wieder ein gleichseitiges dreieck EDP.
es ist evident, daß die dreiecke ADE und AMP ähnlich sind. daraus ergeben sich folgende verhältnismäßigkeiten:
AD : AM = AE : AP = ED : PM
da außerdem AM = BM und PD = ED ist, können wir auch folgendes festhalten:
AD : BM = PD : PM
die dreiecke ADP und BMP müssen ähnlich sein, da sie beide einen gleich großen winkel (60° jeweils bei P) und zwei seitenpaare im gleichen verhältnis haben. daraus folgt, daß der winkel ADP und der winkel BMP ebenfalls gleich groß sind, und deswegen muß der winkel BMA genau wie der winkel EDP auch wieder 60° groß sein.
wenn aber das dreieck ABM zwei gleich lange seiten und zwischen ihnen einen winkel von 60° aufweist, muß es gleichseitig sein. demnach ist die gesuchte strecke AB genauso lang wie der radius r des kreises. und zwar unabhängig von der entfernung PM.
weitere interessante details findet man, wenn man die sache konsequent zu ende denkt. so sind zb. die dreiecke AMP und ABC kongruent und BC entsprich PM. überhaupt steckt das ganze voller ähnlicher dreiecke und kongruenzen, sehr elegant.