Ich soll beweisen, dass für |x| \frac{1}{{(1-x)}^m}= \sum_{n=0}^\infty (^{n+m-1}_{m-1})x^n
Da das ja schon stark an die geometrische Reihe
\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}
sowie den binomischen Satz
(1-x)^m=\sum_{k=0}^m(^m_k)1^{n-k}(-x)^k
erinnert, habe ich das als Ausgangspunkt genommen.
Aber wenn ich jetzt normal einsetze, komme ich auf die falschen x-Potenzen(x-n, ganz davon abgesehen, dass ich den binomischen Satz überhaupt nicht verwenden kann, da keine Summen potenziert werden.
Könnte mir bitte jemand einen Ansatz geben, wie ich das umformen kann, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen?
Ich soll beweisen, dass für |x|
\frac{1}{(1-x)^m} = \sum_{n=0}^\infty
{n+m-1 \choose m-1} x^n
das ist einfach die Taylorentwicklung der Funktion f(x) = 1/(1 – x)m um die Stelle x = 0. Probiers selbst. Zwischenergebnis zur Kontrolle: f(n)(0) = m (m + 1) (m + 2) … (m + n – 1).
Alternativ: Durch vollständige Induktion über m lässt sich diese Gleichung ebenfalls leicht beweisen.
Gruß
Martin
PS: Der LaTEX-Code für Binomialkoeffizienten ist {n+m-1 \choose m-1}.
