Hallo,
icn beschäftige mich gerade mit geometrischen Reihen und Folgen.
Ich hänge an den Grenzwerten und Summenregeln.
Kann mir jemand den Grenzwertbegriff näher erläutern?
Wäre nett.
Andre
Hallo.
Ein Grenzwert ist ein Wert, den eine Reihe (oder ihre Summe/Differenz/Quotient/Multiplikation mit einer anderen Reihe) niemals über/unterschreitet.
Beispiel: (x+1)/x für bel. grosse x/{0} kommt man der 1 als Grenzwert immer näher, aber man erreicht ihn nie.
Dieses Thema ist jedenfalls zu weitläufig um es mit ein paar Sätzen zu erschlagen, dafür kann u.a. Google herhalten. Schlagworte zum Beispiel „Summe,Zeichen,Beispiel, Reihe, geometrische Folge, Rekursion, Grenzwert, limes, lim“ und viele andere
HTH
mfg M.L.
Hallo Andre
Also genau genommen muss man es so sagen: der Grenzwert (nennen wir ihn g) einer (unendlichen) Zahlenfolge {an} ist derjenige Wert, dem die Folge mit wachsendem n beliebig nahe kommt, wobei beliebig nahe mathematisch so formuliert wird:
Für jede positive Zahl d gibt es einen speziellen Indexwert i derart, dass alle Glieder der Folge, die „nach ai kommen“, innerhalb des Bereichs g +/- d liegen (d.h. der Abstand aller Folgenglieder nach ai vom Grenzwert g ist kleiner als d).
Man sagt dann auch, die Folge konvergiert nach g.
Dabei muss es nicht notwendigerweise so sein, dass alle Folgenglieder verschieden sind vom Grenzwert; die konstante Folge (bei der alle Glieder gleich sind) hat auch einen Grenzwert, nämlich dieselbe konstante Zahl.
Dafür kann man sich auch Folgen ausdenken, bei denen immer wieder Glieder „ausreissen“. Beispiel:
1, 1/2, 1, 1/4, 1, 1/8, …
Ein „Teil“ der Folge konvergiert zwar gegen 0, ein anderer Teil bleibt hingegen immer konstant 1. Diese Folge hat keinen Grenzwert, hingegen einen sogenannten Häufungspunkt, nämlich bei 0.
Bei einer Reihe betrachtet man einfach die Folge der n-ten Partialsummen.
Ich hoffe, das war nicht zu theoretisch.
Gruss, Bruno