Hallo, ich habe folgende Aufgabe (ich stelle es erstmal vor und beschreibe dann meine Lösungsidee und dann meine Frage dazu) - ich danke im vorab schon für jede Idee:
Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X mit Werten in IN und
P(X = n) > 0 für jedes n Element IN.
Man soll folgende Äquivalenz zeigen:
i) X ist geometrisch verteilt
ii) Die Verteilung von X hat die Eigenschaft:
P(X > n+k | X > n) = P(X > k)
für alle n, k Element IN_mit_0
Mann soll also i) -> ii) und dann ii) -> i) zeigen
Ich habe nun für P(X > k) = 1 - P( X n+k | X > n) = P(X > n)/P(X > n) = 1, was nicht sein kann. Wie zeige ich nun den Kettenschluss von i) -> ii) und dann ii) -> i) ?
hi,
i) X ist geometrisch verteilt
ii) Die Verteilung von X hat die Eigenschaft:
P(X > n+k | X > n) = P(X > k)
für alle n, k Element IN_mit_0
Mann soll also i) -> ii) und dann ii) -> i) zeigen
zu i) -> ii):
aus geometrischer verteilung folgt:
P(X > k) = (1-p)^k für das p der betr. verteilung
P(X > n+k | X > n) = P(X > n+k und X > n) / P(X > n) =
= P(X > n+k) / P(X > n) = (1-p)^(n+k) / (1-p)^n = (1-p)^k = P(X > k)
zu ii) -> i)
wenn P(X > n+k | X > n) = P(X > k) für alle n, k, dann auch für k = 1:
also: P(X > n+1| X > n) = P(X > 1) für alle n; einerseits
dazu: P(X > n+1| X > n) = P(X > n+1) / P(X > n) für alle n, andrerseits
also: P(X > n+1) / P(X > n) = P(X > 1) für alle n
oder: P(X > n+1) = P(X > 1) . P(X > n) für alle n
also geometrisch mit P(X > 1) als faktor.
hth
michael
Danke. Ich weiß jetzt wo mein Fehler lag.